多校 A 层冲刺 NOIP2024 模拟赛 08

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛08

T1 传送 (teleport)

签到题

性质题，注意到对于一个点而言有意义的传送的只有分别按 \(x,y\) 排序后与其相邻的点，证明考虑贪心手模即可。
然后就能上最短路了，dj 的时间复杂度为 \(O((n+m)logn)\)。

T2 排列 (permutation)

签到题

状压，注意到 \(\dfrac{n}{k}\) 最大不超过 \(10\)，则只需考虑这 \(10\) 个数是否相邻即可，直接状压 \(DP\) 计算只有这 10 个数的方案（若相邻互质则强行塞一个数），然后插板法放回原序列即可。

记 \(t=\frac{n}{k}\) 时间复杂度为 \(O(2^tt^3+n)\)。（爆标了^^。可以进一步推性质优化状压，还能打表优化，思路来自 xlrong）

T3 战场模拟器 (simulator)

签到题

势能线段树（最基础版），注意到每个人只会死亡一次，每个护盾只会抵挡一次，并且这两个东西的上限都是 \(O(n)\) 级别的，在线段树上直接下放解决即可。

时间复杂度为 \(O(nlogn)\)。

T4 点亮 (light)

题意转化，概率DP，二项式反演

很有意思的一道题，感觉 subtask3 也想不到。

先讲讲 \(n≤1000\) 怎么做

考虑一种好的方式能更好的统计信息。由预设型 \(DP\) 启发想到按编号从大到小去加边去填写这个图，这样能使信息更具体，并且使得信息没有后效性，那么就可以 \(DP\) 了。

定义 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 个点还未连边（记为散点），形成了 \(j\) 个连通块时的概率，初始状态 \(1\to f_{n,0}\)，答案即求 \(f_{0,k}\)。

由于是从大到小加边所以很好转移，分讨一下这条边两端是啥点即可。

散点+散点：产生一个新的联通块，消耗两个散点。

非散点+散点：消耗一个散点。

非散点+非散点：无需转移，因为此时使用的概率 \(DP\)，此时已经把这种情况给计算了，这就是概率 \(DP\) 的优越性所在。

概率 DP，只能考虑当前状态的下一步（这样才好计算不同情况的概率），即只能用刷表法转移，以上分讨简单计算一下概率转移即可。

时间复杂度为 \(O(Tn^2)\)。

正解

注意到一个联通块内被点亮两次的边只会有一条（记其为关键边），所以题目所求即为恰有 \(k\) 条关键边的概率。

恰有这个限制太强了，考虑弱化这个限制，套路考虑二项式反演由恰好 \(\to\) 钦定。

记 \(f_i\) 表示钦定 \(i\) 条关键边的概率，\(g_i\) 表示恰好 \(i\) 条关键边的概率。

根据方程定义显然有

\[ f_n=\sum_{i=n}^m\binom{i}{n}g_i \]

由二项式反演得

\[ g_n=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\binom{i}{n}f_i \]

考虑计算 \(f_i\)，设 \(S\) 为一种选择关键边的方案，则有\(f_i=\sum_{|S|≥i}P(S)=cnt_{|S|≥i}P\)。显然在钦定完关键边后每种方案的概率是相等的，所以可以分为两部分考虑，即 方案的概率 \(\times\) 方案数。

• 第一部分，计算方案的概率。因为得满足已经钦定好的边必须为关键边，所以得保证这些边周围边的编号小于它，所以还是考虑从大到小一条边一条边的加入。
  定义所有还未填好的钦定的边及其两个端点有关的边为有关边，其他边则为无关边（注意此时的定义）。
  因为限制变为了恰好，所以在计算概率时不用考虑无关边（因为就算无关边成为了关键边也并不与方程定义相悖）。
  现在还是不好直接算，考虑钦定一种填关键边的顺序，再乘上全排变得好算。
  那么答案就变为了按顺序能填入这条关键边概率的乘积，而一条关键边的概率即为 \(\dfrac{1}{cnt_{当前有关边}}\) （因为此时已经钦定了添关键边的顺序所以分子是 \(1\) ，而由于钦定了顺序现在的有关边都还未填并且除了钦定的位置其他的都不能填）。
  所以（分母考虑计算补集即可）。

\[ 一种钦定 i 条边为关键边方案的概率=i!\prod_{j=i}^1\frac{1}{\binom{n}{2}-\binom{n-2j}{2}} \]

• 第二部分，计算方案数。比较平凡，直接上式子吧 \(\dfrac{A_{n}^{2i}}{i!2^i}\)。

\[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=k}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k}i!\dfrac{A_{n}^{2i}}{i!2^i}\prod_{j=i}^1\frac{1}{\binom{n}{2}-\binom{n-2j}{2}} \\ &=\sum_{i=k}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k}\dfrac{A_{n}^{2i}}{2^i}\prod_{j=1}^i\frac{1}{\binom{n}{2}-\binom{n-2j}{2}} \end{aligned} \]

即能在 \(O(n)\) 解决一次回答。

所以时间复杂度为 \(O(Tn)\)。

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