基本数学理论知识

素数是数论中最为关心的基础，基本上所有的数论书籍都是围绕素数展开。

整数p＞1是素数当且仅当它的因子只有 ±1 和 ±p。

任意整数a＞1都可以唯一地因子分解为 a = p₁^a₁ * p₂^a₂ * …… *p_t^a_t，其中 p₁p₂ p_t都是素数，且 p₁＜p₂＜……＜ p_t，所有的a_i都是正整数。

即任意的正整数a可唯一地表示为 a = ∏ p^a_p 其中每一个a_p ≥ 0 ，比如整数12 = { a2 = 2， a3 = 1}，整数91 ={ a7 = 1， a13 = 1}

两数相乘即对应地指数相加。设 a = ∏ p^a_p b = ∏ p^b_p ，定义k = ab。 k可以表示为 k = ∏ p^k_p，k_p = a_p + b_p

例如 k = 12 * 18 = （ 2^2 * 3 ) * ( 2 * 3^2 ) = 2^3 * 3^3 = 216 。k₂ = a₂ + b₂ = 2 + 1, k₃ = a₃ + b₃ = 1 + 2

1.1 费马定理

若p是素数，a是正整数且不能被p整数，则 a^p-1 ≡ 1 mod p ，也可以用另一种形式表示 a^p ≡ a mod p

比如 3⁵ = 243 =3 mod 5 = a mod p

1.2 欧拉函数

欧拉函数 Φ(n)，指的是小于n且与n互素地正整数的个数。一般Φ(1) = 1。

显然对于素数p， Φ(p) = p - 1

假设有两个素数p和q，p ≠ q，那么对于 n = pq， Φ(n) = Φ(pq) = Φ(p) * Φ(q) = (p -1)* (q - 1)

1.3 欧拉定理

欧拉定理说明，对任意的互素的a和n，有 a ^Φ(n) ≡ 1 mod n ，也可以用另一种形式表示 a ^Φ(n)+1 ≡ a mod n

1.4 中国剩余定理CRT

令M = ∏ m_i，1 ≤ i ≤ k

其中m_i是两两互素的，我们可以将Z_M中任一整数对应一个k元组，该k元组的元素均在Z_mi中，这种对应关系为 A ↔ (a₁，a₂，……，a_k)，A∈Z_M，对于1 ≤ i ≤ k，a_i∈Z_M，且 a_i= A mod m_i

对于A ↔ (a₁，a₂，……，a_k)，B ↔ (b₁，b₂，……，b_k)，(A * B) mod M ↔ (a₁*b₁mod m₁，a₂ * b₂mod m₂，……，a_k * b_k mod m_k)

中国剩余定理的用途之一就是可以使得模M的大数运算转化到更小的数上操作

比如 A = 973 mod M = 1813 = 37 * 49 = m₁ * m₂，M_i = M / m_i，则 M₁ = 49，M₂ =37

973 mod 37 = 11，973 mod 49 = 42，所以973可以表示为 (11,42)

如果此时有678 + 973 mod 1813，则可以通过678 ↔ (678 mod 37，678 mod 49) ↔ (12，41) ，（11 + 12 mod 37，42 + 41 mod 49）= （23，24）↔ a₁M₁M₁^-1 + a₂M₂M₂^-1 mod M ↔ 23 * 49 * 34 + 34 * 37 *4 mod 1813 = 43350 mod 1813 = 1651，其中M₁是M₁模m₁的乘法逆，即M₁^-1 = 34 mod M₁

如果此时有73 * 1651 mod 1813，先73 * （23，24） ↔ （73 * 23 mod 37，73 * 24 mod 49）=（14，32）

（14，32） ↔ 14 * 49 * 34 + 32 * 37 * 4 mod 1813 = 856 = 1651 * 73 mod 1813

1.5 离散对数

1.5.1 模n的整数幂

根据欧拉定理 a ^Φ(n) ≡ 1 mod n，其中欧拉函数 Φ(n)，指的是小于n且与n互素地正整数的个数。

考虑欧拉定理更一般的形式：a ^m ≡ 1 mod n，若a与n互素，则至少有一个整数m满足M=Φ(n)，我们称最小正幂m为下列之一：

a 模 n 的阶
a 所属的模 n 的指数
a 所产生的周期长

如表所示给出了所有小于19的正整数a模19的幂，可以发现所有序列均以1结束；每个序列的周期长都可以整数Φ(19)=18，即每一行都有整数个子序列；有一些序列长度为18，这时我们说底a生成模19的非零整数集，并称这样的整数为模数19的本原根。

更一般来说，我们说Φ(n)是一个数所属的模n的可能的最高指数。如果一个数的阶为Φ(n)，则称之为n的本原跟。本原跟的奇特之处在于若a是n的本原跟，则a¹，a²，……，a^Φ(n) 模n是各不相同的，且均与n互素。素数19的本原跟为2，3，10，13，14，15。

并不是所有整数都有本原跟，事实上，只有形如2，4，p^α，2p^α的整数才有本原跟，p是任何素数，α是正整数。

1.5.2 模算术对数

对于底数x和数y，y=x^log_x(y)

对数有以下性质：

log_x(1) = 0
log_x(x) = 1
log_x(yz) = log_x(y) + log_x(z)
log_x(y^r) = r * log_x(y)

对素数p的本原跟a，a的1到p-1次方幂可产生[1,p-1]的每一个整数一次。而对任何整数b，根据模算术定义，b ≡ r mod p，一定有唯一的幂i使得 b ≡ aⁱ mod p，0 ≤ i ≤ p - 1，这里的i称为以a为底（模p）b的离散对数，记为dlog_a,p(b)。而dlog_a,p(1) = 0，dlog_a,p(a) = 1。

由于 x = a ^dlog_a,p(x) mod p，y = a ^dlog_a,p(y) mod p，xy = a ^dlog_a,p(xy) mod p，由模乘的性质 xy mod p = （x mod p）（y mod p）mod p，a ^dlog_a,p(xy) mod p = (a ^dlog_a,p(x) mod p) * ( a ^dlog_a,p(y) mod p) = a ^{dlog_a,p(x) + dlog_a,p(y)}mod p