数论和有限域的基本概念

写着一部分的时候我是抗拒的，不想看数学，不想看数学，不想看数学！！！！！但是，我和小伙伴说看到这不想看的时候，他说，这是精华啊，快看！！！！！呜呜呜呜呜，浅看一下吧。菜鸟进击-------------------------------------------------------------------

1、整除性和除法

1.1.1 整除性

 设a，b，m是整数，如果 a = mb，我们说非零整数b整除a。用 b | a表示b整除a，此时b是a的因子。如：6 | 24，13 |182， -5 | 20， -3 | 33

接下来看整数整除的性质：

• 如果 a | 1，则 a = ± 1
• 如果 a | b 且 b | a，则 a = ± b
• 任意非零整数b整除0
• 如果 a | b，b | c，则 a | c  比如 11 | 66，66 | 198 = 11 | 198
• 如果 b | g，b | h，则对任意的整数m和n，有 b | （ mg + nh ）

1.1.2 除法

给定任意正整数n和任意非负整数a，如果用n除a，我们得到一个整数商q和一个整数余数r，可写成

                                                  a = qn + r         0 ≤ r ＜ n；q = (a/n)下取整

余数r经常被称为剩余数。

 

2、欧几里得算法Euclid：求两个正整数的最大公因子

2.1 最大公因子

我们用gcd( a , b )表示a和b的最大公因子，即能够同时整除a和b的最大整数。定义特殊点gcd( 0, 0 ) = 0。假设c是a和b的最大公因子，则有以下性质：

c是a和b的因子

a和b的任何因子都是c的因子

公式定义为gcd( a, b ) = max [ k, k | a 且 k | b]

 因为我们所求的最大公因子是正数，所以gcd( a, b ) = gcd( a, -b ) = gcd( -a, b ) = gcd( -a, -b ) 。如gcd( 60, -24 ) = 12。特殊的gcd( a, 0 ) = |a|

如果gcd( a, b ) = 1，那么我们称a和b互素。

 

2.2 求最大公因子

辗转求余法知道d = gcd ( r_n, 0 ) = r_n

 

3、模运算

3.1 模

如果a是整数，n是正整数，则定义a模n是a除以n所得的余数。整数n称为模数。因此，对于任意整数a，总有 a = qn + r    0 ≤  r ＜ n；q = (a/n)向下取整

                                                                       11 mod 7 = 4； -11 mod 7 = 3

如果( a mod n ) = ( b mod n )，则称整数a和b是模n同余的。可以表示为a ≡ b ( mod n )。如果 a ≡ 0 ( mod n )，则 n | a。

3.2 同余的性质

• 如果 n | (a - b)，那么 a ≡ b ( mod n )
• a ≡ b ( mod n )，隐含b ≡ a ( mod n )
• a ≡ b ( mod n )，b ≡ c ( mod n )，那么a ≡ c ( mod n )

3.3 模算术运算

根据定义可知，运算 mod n将所有的整数映射到集合{ 0，1，2，……，n - 1 }

模算术有以下性质

• [ ( a mod n ) + ( b mod n ) ] mod n = ( a + b ) mod n 
• [ ( a mod n ) - ( b mod n ) ] mod n = ( a - b ) mod n 
• [ ( a mod n ) * ( b mod n ) ] mod n = ( a * b ) mod n

3.4 模运算的性质

定义比n小的非负整数集合为Z_n：Z_n = { 0，1，2，……，n - 1 }，这个集合被称为剩余类集，或模n的剩余类。准确地说，Z_n中每一个整数都代表一个剩余类。我们可以将模n的剩余类表示为[0] [1] [2] …… [n - 1]，其中[r] = {a：a是一个整数，a ≡ r ( mod n )}

举个栗子吧，这里需要一个栗子

• 模4的剩余类：
• [0] = { …… -16   -12   -8    -4    0    4    8     12    16 ……}
• [1] = { …… -15   -11    -7    -3    1    5    9     13    17 ……}
• [2] = { …… -14   -10    -6    -2    2    6   10    14    18 ……}
• [3] = { …… -13     -9     -5    -1    3    7   11    15    19 ……}

从栗子中可以看出，在剩余类的所有整数中，通常用最小的非负整数代表这个剩余类。寻找与k是同余的最小非负整数的过程，称为模n的k约化。

3.5  修改的欧几里得算法

对于任意非负整数a和任意正整数b gcd ( a,b ) = gcd ( b,a mod b ) 

if ( b = 0 ) then return a;

else return Euclid ( b, a mod b);

3.6 扩展欧几里得算法

                                                                   d = gcd ( a,b ) = ax + by

对于给定的整数a和b，ax+by的最小正整数等于 gcd ( a,b )

对于给定的a和b，扩展欧几里得计算( x, y, d )。

 

4、群 环 域

4.1 群

代数结构 - 吉吉的奥利奥 - 博客园 (cnblogs.com) 这里有过介绍

设<G,*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，G中的每一个序偶( a,b )通过计算生成G中的元素 ( a*b )，并满足以下公理

（1）运算*是封闭的：如果a和b都属于G，则a*b也属于G

（2）运算*是可结合的：对于G中任意元素a、b、c，都有a * ( b * c ) = ( a * b ) *c

（3）存在幺元e：G中存在一个元素e，对于G中任意元素a，都有a*e = e*a = a成立

（4）对于每一个元素x∈G，存在着他的逆元x^-1，使得x * x^-1 = x^-1 * x = e

则称<G,*>是一个群。

在此，如果对于G中任意元素a和b，都有a * b = b * a成立，则<G,*>是一个交换群(阿贝尔群)。

 

循环群：

 定义a⁰ = e 作为单位元，如果群中每一个元素都是一个固定元素a的幂a^k，则称群G为循环群。我们认为元素a生成了群G，或者说a是群G的生成元。循环群总是交换群，有可能是有限群，也有可能是无限群。

 

4.2 环

环R是一个有两个二元运算的集合，这两个二元运算分别称为加法和乘法，对于R中任何元素abc满足以下公理：

（1）R关于加法是一个交换群

（2）如果a和b都属于R，则ab也属于R

（3）对于R中任意元素abc，有a(bc) = (ab)c

（4）对于R中任意元素abc，都有a ( b + c ) = ab + ac; ( a + b )c = ac + bc

本质上环就是一个集合，我们可以在上面进行加减乘法而不脱离该集合。

实数上所有n阶方阵的集合关于加法和乘法构成一个环。

在此，对于R中任意元素a、b，有ab=ba，则R是一个交换环。Z_n就构成一个交换环。

基于交换环，满足乘法单位元1使得a1=1a=a；无零因子若ab=0，则必有a=0或者b=0，我们称为整环。

 

4.3 域

域F是一个有两个二元运算的集合，这两个二元运算分别称为加法和乘法，对于R中任何元素abc满足以下公理：

（1）F是一个整环

（2）F中任意元素a（除0），F都存在一个元素a^-1使得aa^-1=a^-1a=1成立

本质上域就是一个集合，我们可以在上面进行加减乘法而不脱离该集合。除法可以定义为a/b=a*b^-1

 

5、有限域GF(p)

阶为pⁿ的有限域一般记为GF(pⁿ)，GF代表Galois域，以一位研究有限域的数学家名字命名。

5.1 阶为p的有限域

给定一个素数p，元素个数为p的有限域GF(p)被定义为整数{0，1，2，……，p - 1 }的集合Z_p，其运算为模p的算术运算。比如Z₇就是一个有限域，每个元素都有a + b = 0 mod 7，a * b = 1 mod 7。

5.2 求GF(p)中乘法逆元

根据扩展欧几里得算法得知，如果 by mod a = 1，则y = b^-1

 

6、多项式运算

6.1 普通多项式运算

 一个n次多项式可以写为 f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …… + a₁x + a₀ = Σ_i=0 ⁿ a_ixⁱ，其中a_i是指某个系数集S中的元素，且a_n ≠ 0。我们称f(x)是定义在系数集S上的多项式。

6.2 系数在Z_p中的多项式

 假如系数集S是域F的元素，我们称其为域F上的多项式。这种情况下，系数集S是一个环，称为多项式环。

对我们而言GF(2)上的多项式最有意义。他的加法等价于异或运算，乘法等价于逻辑与运算。模2的加减法是等价的。

域F上的多项式f(x)被称为不可约的/既约的。当且仅当f(x)不能表示为两个多项式的积。一个不可约多项式也成为素多项式。

 

7、有限域GF(2n)

7.1 动机

我们要寻找一个包含2n个元素的集合，其上定义了加法和乘法使之成为一个域。给集合的每一个元素赋值为0到2n-1之间唯一的整数。我们不会使用模算术，因为那样不能构成域。我们使用多项式算术来构造需要的域。

7.2 多项式模运算

                                                                                               f(x) = a_n-1x^n-1 + …… + a₁x + a₀ = Σ_i=0 ^n-1 a_ixⁱ        a_i在集合{0，1，……，p - 1}

如果乘法运算的结果是次数大于n-1的多项式，那么必须将其除以某个次数为n的既约多项式m(x)取其余式r(x)，即r(x) = f(x) mod m(x)

设m(x)为n次多项式，则模m(x)剩余类集合有pⁿ个元素，其中每个元素都可以表示成一个m次多项式(m<n)。

以m(x)为模的剩余类[x+1]由所有满足a(x)≡(x+1) mod m(x)的多项式a(x)组成。就是说，剩余类[x+1]中的所有多项式a(x)满足等式a(x) mod m(x) ≡ (x+1) 。

由此可知，以n次既约多项式m(x)为模的所有多项式组成的集合满足域的所有公理，形成一个有限域。任意具有相同的阶的有限域具有相同的结构，但是元素的表示和标记可能不同。构造一个有限域GF(2³)，需要选择一个3次既约多项式，使得不同函数的加乘模上既约多项式之后都在该有限域内。

7.3 求乘法逆元

 可以由扩展欧几里得算的

7.4 多项式的特性

                                                                                                 f(x) = a_n-1x^n-1 + …… + a₁x + a₀ = Σ_i=0 ^n-1 a_ixⁱ 

可以由n个二进制系数(a_n-1，a_n-2，……，a₁，a₀)系数表达法唯一的表达。因此，多项式可以表示成一个n位的二进制整数。

加法可以由异或得到，乘法一般的，在GF(2ⁿ)上的对于n次多项式p(x)，有 xⁿ mod p(x) = p(x) - xⁿ

7.5 生成元

1、阶为q的有限域F的生成元是一个元素g，即域F的元素为0，g⁰，g¹，g²，……，g^q-2。考虑到由多项式f(x)定义的域F，如果F内的一个元素b满足f(b)=0，则称b为多项式f(x)的跟。

一个不可约多项式的根g是这个不可约多项式定义的有限域的生成元。

举个栗子，这里还蛮难理解的。

构造一个有限域GF(2³)，需要选择一个3次既约多项式，x³ + x + 1。设生成元为g，则g满足f(g) = g³ + g + 1 = 0。因此，方程解满足 g³  = -g - 1 = g + 1。

g⁴ = g * g³ = g ( g + 1 ) = g² + g

g⁵ = g * g⁴ = g ( g² + g ) = g³ + g² = g² + g + 1

g⁶ = g * g⁵ = g ( g² + g + 1 ) = g³ + g² + g = g² + g + g + 1 = g² + 1

g⁷ = g * g⁶ = g ( g² + 1 ) = g³ + g = g + g + 1 = g⁰

g的幂产生了GF(2³)所有的非0多项式。同样的，对所有k，有g^k = g^{k mod 7}

幂表示	多项式表示	二进制表示	十六进制表示
0	0	000	0
g0	1	001	1
g	g	010	2
g2	g2	100	4
g3	g + 1	011	3
g4	g2 + g	110	6
g5	g2 + g + 1	111	7
g6	g2 + 1	101	5