环、商环、整数环

1、Ring定义

R是一个含有两种复合运算+、*的集合，若满足

（1）（R，+）是一个交换群

（2）*运算满足结合律。且R中含有一个乘法运算的单位元e

（3）满足分配律 a*（b+c）=a*b+a*c，（a+b）*c=a*c+b*c

R被称为一个环，乘法部分满足交换律的环被称为交换环。

2、把Z和nZ看作两个群，那么Z/nZ就是一个商群。i={i+kn|k∈Z}，这个集合为mod意义下的整合。零元和单位元分别是0和1。

3、整数环：在交换环的基础上，并满足没有零因子(如此，集合内任意两个元素乘积均不等于0)。他的单位元1，-1。

4、子环：如果对于一个 R 的子集合 S ，有e∈S，并且 S 本身对于 +-* 封闭，则 S 称为 R 的一个子环。比如说z（+，-，*）就是R（+，-，*）的一个子环。

Z[X]----->Z/nZ[X]就是一个环同态，其映射的意义就是把整数多项式环的系数模n，得到模多项式环。

5、域：在环的基础上，如果对于每一个环的非零元素 a ，都存在一个元素 b ，使得 ab=ba=e ，则称这个环为一个域。

6、商环：R/I={a+I | a∈R}

参考抽象代数|笔记整理（6）——环，多项式环，理想 - 知乎 (zhihu.com)