环、商环、整数环
1、Ring定义
R是一个含有两种复合运算+、*的集合,若满足
(1)(R,+)是一个交换群
(2)*运算满足结合律。且R中含有一个乘法运算的单位元e
(3)满足分配律 a*(b+c)=a*b+a*c,(a+b)*c=a*c+b*c
R被称为一个环,乘法部分满足交换律的环被称为交换环。
2、把Z和nZ看作两个群,那么Z/nZ就是一个商群。i={i+kn|k∈Z},这个集合为mod意义下的整合。零元和单位元分别是0和1。
3、整数环:在交换环的基础上,并满足没有零因子(如此,集合内任意两个元素乘积均不等于0)。他的单位元1,-1。
4、子环:如果对于一个 R 的子集合 S ,有e∈S,并且 S 本身对于 +-* 封闭,则 S 称为 R 的一个子环。比如说z(+,-,*)就是R(+,-,*)的一个子环。
Z[X]----->Z/nZ[X]就是一个环同态,其映射的意义就是把整数多项式环的系数模n,得到模多项式环。
5、域:在环的基础上,如果对于每一个环的非零元素 a ,都存在一个元素 b ,使得 ab=ba=e ,则称这个环为一个域。
6、商环:R/I={a+I | a∈R}