数位dp入门
数位dp，一般的题意是要求把某个区间的符合某种特征的数的个数求出来，一般的思路就是把最大数按位分解，然后dfs依次判断每一位相应的数是否满足要求。
把以前做过的几道简单数位dp的题总结一下，可以作为入门题做做。
1.
hdu 2089 不要62
题意：给定一个区间[a,b]，问在这个区间中的数字，不包含4和62的数有多少个？
分析：数据范围小于1e6，如果暴力的话，再加上分解因数，预处理的时间复杂度数量级最大1e7，查询O(1)。
用数位dp的做法：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[8][2],bit[8];
/*
f[i][j]:i是位数
j==0，尾位不是6
j==1，尾位是6
*/
int dfs(int pos,bool six,bool lim)//位数，尾位是否是6，是否是上限
{
if(pos<=0)return 1;
if(!lim&&f[pos][six]!=-1)return f[pos][six];
int num=lim?bit[pos]:9; //假设该位是2,下一位是3，如果现在算到该位为1，那么lim=0，表示下一位是能取到9的，
//如果该位为2，那么lim=1，下一位只能取到3
int ans=0;
for(int i=0;i<=num;i++){
if(i==4||six&&i==2)continue;//如果再加一位是4，或者尾位是6再加一位是2，那么都是不合法的状态，跳过。
ans+=dfs(pos-1,i==6,lim&&i==num);
}
if(!lim)f[pos][six]=ans;
return ans;
}
int solve(int n)
{
int len=0;
memset(f,-1,sizeof(f));
while(n){
bit[++len]=n%10;
n/=10;
}
return dfs(len,0,1);
}
int main()
{
int a,b;
while(~scanf("%d%d",&a,&b)&&(a+b)){
printf("%d\n",solve(b)-solve(a-1));
}
return 0;
}2.
hdu 3652 B-number
题意：求小于n，是13的倍数且含有’13’的数的个数。n<1e9
分析：有两个要求，不含13且不是13的倍数，这样的话，可是可以用三维数组表示状态f[i][j][k]，i表示数位，然后增加上用j表示余数，k表示是否含有13。然后dfs，从高位开始以此判断每一位的状态。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=15;
int bit[N],f[N][N][3];
/*
dp[i][j][k] j表示余数
k==0 不包含13且不以1结尾
k==1 不包含13且以1结尾
k==2 包含13
*/
int dfs(int pos,int mod,int have,bool lim)//第几位数，余数，状态标号，是否是上限
{
if(pos<=0)return mod==0&&have==2;
if(!lim&&f[pos][mod][have]!=-1)return f[pos][mod][have];
int num=lim?bit[pos]:9;
int ans=0;
for(int i=0;i<=num;i++){
int mod_x=(mod*10+i)%13; //传到下一位的余数，模拟除法的过程
int have_x=have;
if(have==0&&i==1)have_x=1;//末尾不是1，再加一位是1，标记为1
if(have==1&&i!=1)have_x=0;//末尾是1，再加一位不是1，标记为0
if(have==1&&i==3)have_x=2;//末尾是1，再加一位是3，标记为2
ans+=dfs(pos-1,mod_x,have_x,lim&&i==num);
}
if(!lim)f[pos][mod][have]=ans;
return ans;
}
int main()
{
int n,len;
while(~scanf("%d",&n)){
memset(f,-1,sizeof(f));
len=0;
while(n){
bit[++len]=n%10;
n/=10;
}
printf("%d\n",dfs(len,0,0,1));
}
return 0;
}3.
hdu 3555 含有49的数：
题意：
找出2^63范围内含有49的数，注意用long long
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=20;
ll f[N][3];
int bit[N];
//f[pos][have]
//0 最后一位不是4且不含49
//1 最后一位是4
//2 有49
ll dfs(int pos,int have,bool lim)
{
if(pos<=0)return have==2;
if(!lim&&f[pos][have]!=-1)return f[pos][have];
int num=lim?bit[pos]:9;
ll ans=0;
for(int i=0;i<=num;i++){
int have_x=have;
if(have==1&&i==9)have_x=2;
else if(have==0&&i==4)have_x=1;
else if(have==1&&i!=4)have_x=0;
ans+=dfs(pos-1,have_x,lim&i==num);
}
if(!lim)f[pos][have]=ans;
return ans;
}
ll solve(ll n)
{
memset(f,-1,sizeof(f));
int tot=0;
while(n){
bit[++tot]=n%10;
n/=10;
}
return dfs(tot,0,1);
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--){
ll n;cin>>n;
printf("%lld\n",solve(n));
}
return 0;
}这个也可以用递推解决：
dp[k][0]=dp[k-1][0]*9+dp[k-1][1]*8; //dp[][0]表示不包含49并且以非4结尾的个数
dp[k][1]=dp[k-1][0]+dp[k-1][1]; //dp[][1]表示不包含49并且以4结尾的个数
dp[k][2]=dp[k-1][1]+dp[k-1][2]*10; //dp[][2]表示包含49的个数4.
数位dp的思想是处理一个序列，一位位的分析，上面的都是先把数分解成一个序列，有的题目就是直接问哟多少种满足要求的序列，处理也是一样的，对每一个位处理即可。
例：
hdu 5642 数位dp/ 递推
题意：数一个长度为 n的序列 ， 并且序列中不能出现长度大于 3 的连续的相同的字符
分析：
这道题目是BC的一道题目，大部分人是用递推解决的，因为递推特别简单。
ll f[N][4]; //依次表示末尾应经出现连续相等字母的数量
f[1][1]=26;
for(int i=2;i<N;i++){
f[i][1]=(f[i-1][1]+f[i-1][2]+f[i-1][3])*25%mod;
f[i][2]=f[i-1][1];
f[i][3]=f[i-1][2];
}这题用数位dp的思想也是可以做的，d[i][j][k]为处理完 i个字符 , 结尾字符为 ′a′+j, 结尾部分已重复出现了 k次的方案数。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2009;
int f[N][26][4];
int dfs(int pos,int m,int k)
{
if(pos<=1)return 1;
if(f[pos][m][k]!=-1)return f[pos][m][k];
int ans=0;
for(int i=0;i<26;i++){
if(i!=m)ans=(ans+dfs(pos-1,i,1))%mod;
else if(i==m&&k<3)ans=(ans+dfs(pos-1,i,k+1))%mod;
}
return f[pos][m][k]=ans;
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
int n;
memset(f,-1,sizeof(f));
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<26;i++)dfs(n,i,1);
int ans=0;
for(int i=0;i<26;i++)ans=(ans+f[n][i][1])%mod;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}5.
hdu 4347
题意：给一个数A (十进制表示形式为AnAn-1An-2 … A2A1，定义函数 F(x) = An * 2n-1 + An-1 * 2n-2 + … + A2 * 2 + A1 * 1，给一个B,求B以内的i,满足F(i)<=F(A)
分析：f[i][j]表示i位比j小的数有多少，先计算出F(a)，然后dfs，找出比fa小的B以内的数，找B以内的数，这就是简单的数位dp了，先把B按位存储，然后从高位dfs一位位比较就好了。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2009;
int f[12][4600],w[12];
int bit[12];
int dfs(int pos,int sum,bool lim)
{
if(pos<=0)return 1;
if(!lim&&f[pos][sum]!=-1)return f[pos][sum];
int num=lim?bit[pos]:9;
int ans=0;
for(int i=0;i<=num;i++){
if(sum-i*w[pos]>=0)ans+=dfs(pos-1,sum-i*w[pos],lim&&i==num);
}
if(!lim)f[pos][sum]=ans;
return ans;
}
int main()
{
for(int i=0;i<11;i++)w[i+1]=1<<i;
int T;scanf("%d",&T);
memset(f,-1,sizeof(f));
for(int cas=1;cas<=T;cas++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
int fa=0,i=0;
while(a){
fa+=(a%10)*w[++i];
a/=10;
}
i=0;
while(b){
bit[++i]=b%10;
b/=10;
}
printf("Case #%d: %d\n",cas,dfs(i,fa,1));
}
return 0;
}6.
题意：
d magic number（0<=d<9）的意思就是一个数，从最高位开始奇数位不是d,偶数位是d
题目问，给a,b,m,d(a<=b,m<2000)问，a,b之间有多少个数满足既是d magic number，又可以被m整除
分析：
跟上面第二题有些类似，需要注意位数最大可能是2000。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2009;
int f[N][N],bit[N];
char a[N],b[N];
int m,d,len;
int dfs(int pos,int pre,bool lim)
{
if(pos==len+1)return pre==0;
if(!lim&&f[pos][pre]!=-1)return f[pos][pre];
int num=lim?bit[pos]:9;
int ans=0;
for(int i=0;i<=num;i++){
if((pos&1)&&i==d)continue;
if(!(pos&1)&&i!=d)continue;
ans=(ans+dfs(pos+1,(pre*10+i)%m,lim&&i==num))%mod;
}
if(!lim)f[pos][pre]=ans;
return ans;
}
int solve(const char *s)
{
len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++)bit[i+1]=s[i]-'0';
return dfs(1,0,1);
}
int judge(const char *s)
{
len-strlen(s);
int pre=0;
for(int i=0;i<len;i++){
pre=(pre*10+s[i]-'0')%m;
if(i&1&&(s[i]-'0'!=d))return 0;
if(!(i&1)&&s[i]-'0'==d)return 0;
}
return pre==0;
}
int main()
{
//freopen("f.txt","r",stdin);
memset(f,-1,sizeof(f));
scanf("%d%d",&m,&d);
scanf("%s%s",a,b);
printf("%d\n",(solve(b)-solve(a)+judge(a)+mod)%mod);
return 0;
}上面的6道数位dp题可以看出形式差不多是一样的，前几道是直接搬得我以前写的题解，注释写的比较详细，希望可以帮助需要的朋友！
