扩展 BSGS 学习笔记

在 离散对数 & BSGS 学习笔记 中，我们学习了 BSGS 。

设有 $a,b,m\in {\mathbf{N}}^{\mathbf{\ast }}$ ，且 $(a,m)\ne 1$ ，求解：

$$a^x\equiv b(\mathrm{mod}m)$$

这玩意咋求解？把它变成 BSGS 能做的形式不就行了！

首先对于 $a\equiv b\equiv 0$ ，可以直接得到 $x=1$ 。

或者当 $b\equiv 1$ 时，得到 $x=0$ 。

否则，原方程可以写为

$$a^x+km=b$$

设 $d=(a,m)$ ，则根据裴蜀定理，这个方程有解的必要条件为 $d|b$ 。所以，当 $d|̸b$ 时可以直接判断为无解。

否则，原方程可以化为

$${\displaystyle \frac{a}{d}}\cdot a^{x-1}\equiv {\displaystyle \frac{b}{d}}(\mathrm{mod}{\displaystyle \frac{m}{d}})$$

继续设 $d^{\prime }=(a,{\displaystyle \frac{m}{d}})$ ，若 $d^{\prime }|{\displaystyle \frac{b}{d}}$ ，则原方程可以化为

$${\displaystyle \frac{a}{d{d}^{\prime }}}\cdot a^{x-2}\equiv {\displaystyle \frac{b}{d{d}^{\prime }}}(\mathrm{mod}{\displaystyle \frac{m}{d{d}^{\prime }}})$$

设 $D=\prod d$ ，则以此类推直到 $a\perp {\displaystyle \frac{m}{D}}$ ，则原方程转化为

$${\displaystyle \frac{a^k}{D}}\cdot a^{x-k}\equiv {\displaystyle \frac{b}{D}}(\mathrm{mod}{\displaystyle \frac{m}{D}})$$

其中 $k$ 为 $d$ 的个数。

这样就可以用 BSGS 求 $x-k$ 的值了。

题目

题单： https://vjudge.net/article/5400

洛谷 P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS

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