连分数

目录

• 连分数的概念和来源
• 连分数的思想
• 连分数的表示与一些性质
• 连分数的计算方法
• 连分数的代码实现

连分数的概念和来源

连分数是一种用有理数来逼近一个实数的好方法。比如我们对于无理数\(\pi\)，可以用分数\(\frac{314}{100}=\frac{157}{50}=3.14\)来近似的表示，但是分数\(\frac{31415}{10000}=\frac{6283}{2000}=3.1415\)是对于\(\pi\)的一个更好的逼近，而连分数方法就可以不断的得到越来越好的逼近。

连分数的思想

设需要逼近的实数为x，不断的找一个近似的有理数y（小于等于x），然后再找到一个小于等于x-y的有理数，重复直到达到精度要求或者最后寻找的近似数与被近似的数相等时，将这些数相加即可，因为后面需要近似的数越来越小，所以可以很容易看出精度在不断的提高。

连分数的表示与一些性质

举例：

\[[a_0,a_1,a_2,a_3]=a_0+\cfrac{1}{a_1\cfrac{1}{a_2\cfrac{1}{a_3}}} \]

在连分数中，从开始一直到第k个变元（\(a_k\)）构成的连分数，就是这个连分数的第k渐进分数，记作\(\frac{p_k}{q_k}\)。

最后一个渐进分数，也就是这个被逼近的数本身，第一个渐进分数就是\(a_0\)

渐进分数的分子\(p_k\)和\(q_k\)具有相同的递推关系：

\[p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2} \\ q_k=a_kq_{q-1}+q_{q-2} \]

而为了满足形式，记：

\[p_{-2}=0,p_{-1}=1\\ q_{-2}=1,q_{-1}=0 \]

连分数的计算方法

如果只按照上面这种叙述，其实很难理解到底应该怎么算，其实连分数的计算很简单，主要也就是用到了求最大公约数时用到的辗转相除法/欧几里得算法，只不过gcd是算式\(a=kb+c\)中最后一个不为0的c就是最大公约数，而计算连分数需要用到每一个k（包括最后一个）。举个例子：

\[\begin{equation} \begin{aligned} 12345&=\textbf{1}\times 11111 +1234 \\ 11111&=\textbf{9}\times 1234 + 5 \\ 1234&=\textbf{246}\times 5 + 4 \\ 5&=\textbf{1}\times 4+1\\ 4&=\textbf{4}\times 1+0\\ \end{aligned} \end{equation} \]

其中\(5=\textbf{1}\times 4+1\)中最后这个加的1就是12345和11111的最大公约数（最后一个非0的余数），而所有加粗的数字就是计算连分数所需要的变元\(a_k\)。

有了变元，就可以利用上述的递推公式找到每一个渐进分数的分子和分母了。

连分数的代码实现

在sagemath中，求变元的公式是：continued_fraction(a/b)，这个是一个‘sage.rings.continued_fraction.ContinuedFraction_periodic’类，可以遍历，如果需要变成列表可以用强制类型转换：list(contFrac(a/b))，然后把分子分母求出来就是用这个类的方法convergents()，返回一个列表。

例如：

>>> a = continued_fraction(12345/11111)
>>> b = a.convergents()
>>> print(a)
[1, 9, 246, 1, 4]
>>> type(a)
<class 'sage.rings.continued_fraction.ContinuedFraction_periodic'>
>>> print(b)
[1, 10/9, 2461/2215, 2471/2224, 12345/11111]
>>> type(b)
<class 'list'>

也可以自己写：

#计算a/b的连分数的变元
def contFrac(a, b): 
    l = []
    if b > a:
    	a, b = b, a
    while b:
        l.append(a//b)
        a, b = b, a%b
    return l
def fun(cc):
    p_be, p_af = 0, 1
    q_be, q_af = 1, 0
    for i in cc:
        p_be, p_af = p_af, i * p_af + p_be
        q_be, q_af = q_af, i * q_af + q_be
    return p_af, q_af