汉明码、海明校验码(Hamming Code)
基础知识
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码距：又叫海明距离，是在信息编码中，两个编码之间对应位上编码不同的位数。例如编码100110和010101，第1、2、5、6位都不相同，所以这两个编码的码距就是4，并且可以通过异或的方式求出（异或后计算零的个数）
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奇偶校验(Parity Check)：一种校验代码传输正确性的方法，分为奇校验和偶校验两种方式，目的都是在一字节（8位二进制数）后面加上一个校验位（0或1），奇校验下前面8位和校验码的1的个数应为奇数个，偶校验为偶数个。公式表示为：
\[奇校验：G=\overline{C\oplus X_1\oplus X_2\oplus X_3\oplus ... \oplus X_n}\\ 偶校验：G=C\oplus X_1\oplus X_2\oplus X_3\oplus ... \oplus X_n\\ G等于0表示数据正常，否则表示出错 \]在实际中奇偶校验的选择是事先选择的。
奇偶校验的特点
- 编码检错简单
- 编码效率高
- 不能检测偶数位错误，无错结论不可靠，是一种错误检测码
- 也没法识别错误，更不能纠正错误，出错只能重新传
汉明码/海明校验码
海明码的构成方法是在数据位之间的确定位置上插入k个校验位，通过扩大码距来实现检错和纠错。
汉明码跟其它的错误校验码类似，也利用了奇偶校验位的概念。不过与奇偶校验码不同的是，它并不是指定长度字节后面加一位，而是通过计算关系：
计算出指定数据位对应的校验位长度。其中n为数据位，k为校验位长度。
计算
设数据位是8位，那么通过式子\(2^4-1=15>8+4=12\)，则校验位为4位
设信息位为：D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0，校验位P3,P2,P1,P0，先计算校验位在总共12位的海明码中占据的位数：
- \(P0=2^0=1\)
- \(P1=2^1=2\)
- \(P2=2^2=4\)
- \(P3=2^3=8\)
所以校验位P3,P2,P1,P0分别占据第8、4、2、1位，而信息码从左到右占据剩下的位数，如表：
| 位数 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 信息位 | D7 | D6 | D5 | D4 | D3 | D2 | D1 | D0 | ||||
| 校验位 | P3 | P2 | P1 | P0 |
注：这个表很多资料中其实是左右倒过来的，如果是倒过来的话就不用最后在倒置了
而信息位与校验位的关系为：信息位的位数=位数相加等于信息位位数的校验位组。例如D7的位数为12，所以D7的校验位组为P3和P2。
| 信息位 | 信息位检验计算 | 校验位组 |
|---|---|---|
| D7 | 12=8+4 | P3,P2 |
| D6 | 11=8+2+1 | P3,P1,P0 |
| D5 | 10=8+2 | P3,P1 |
| D4 | 9=8+1 | P3,P0 |
| D3 | 7=4+2+1 | P2,P1,P0 |
| D2 | 6=4+2 | P2,P1 |
| D1 | 5=4+1 | P2,P0 |
| D0 | 3=2+1 | P1,P0 |
所以，P0参与了D0,D1,D3,D4,D6的检验，其他由此类推：
\(P0=D0\oplus D1\oplus D3\oplus D4\oplus D6\)
\(P1=D0\oplus D2\oplus D3\oplus D5\oplus D6\)
\(P2=D1\oplus D2\oplus D3\oplus D7\)
\(P3=D4\oplus D5\oplus D6\oplus D7\)
注意：海明码是由高位到低位进行排序（高位先放，低位后方），所以得到的海明码是：P0 P1 D0 P2 D1 D2 D3 P3 D4 D5 D6 D7
而校验的方式则是算出信息的校验码，然后与得到的校验码对应，相同标0，不同标1（让01串异或成原来的样子），得到错误的位置为\(P3^*P2^*P1^*P0^*\)（\(Pn^*\)是标记）
python代码实现校验（这代码摸了快三天，代码水平还是得提高）
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Dec 3 21:59:38 2021
海明码解码纠错(默认只有一个错误)
@author: 01am
"""
#返回将列表里面的元素全部异或的值
def xor1(lista):
j=lista[0]
for i in range(1,len(lista)):
j=j^lista[i]
return j
a = input("请输入海明码:")
len_a = len(a)
k=0
#确定k的值
for i in range(1,len_a):
tmp = pow(2,i)
if tmp > len_a :
k=i
break
#循环创建校验位变量和校验位对应的数据位列表
for i in range(k):
exec('P'+str(i)+'='+str(a[pow(2,i)-1]))
exec('D'+str(i)+'=[]')
#循环创建数据位变量并确定是否与校验位有关
for i in range(len_a):
#如果按照位数的二进制情况下查找1只有1个的情况下，那么一定是校验位
if bin(i+1).count('1')==1:#加一是为了解决range从0开始而海明码从1开始的矛盾
continue
else:
tmp1=bin(i+1)[-1:1:-1]#将二进制数翻转并且去掉0b，方便后面循环寻找相关的校验位
for j in range(len(tmp1)):
if tmp1[j]=='1' :#这里无需加一，因为校验位是从0开始的
exec('D'+str(j)+'.append('+str(a[i])+')')
#新计算的纠错位和原校验位对比后的标志不准确
#判断校验位和计算出来的校验位是否一致
K=''
for i in range(k):
exec('tmp2 = D'+str(i)) #这里的问题，不能写成tmp2 = exec('D'+str(i))，这样会让tmp2成为NoneType
exec('tmp3 = P'+str(i))
tmp4 = xor1(tmp2) #这里可能会提示有变量未定义，不用理
if tmp4 == tmp3 : #这里可能会提示有变量未定义，不用理
K+='0'
else:
K+='1'
tmp5 = K[::-1]#校验位的位置，如果全为零就不存在
#判断校验码是否存在，存在就把对应的位置修改
a=list(a)
if tmp5.find('1')!=-1:
int1 = int(tmp5,2)-1
a[int1]=str(int(a[int1])^1)
print("已经自动纠错一位\n")
#输出不带校验码的字符串
b=''
c=[pow(2,i) for i in range(k)]
for i in range(len_a):
if i+1 not in c:
b+=a[i]
a=''.join(a)
print(a)
print(b)
参考：
