POJ 1904 King's Quest (强连通分量+完美匹配)

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题目大意：

　　有n个王子，每个王子都有k个喜欢的妹子，每个王子只能和喜欢的妹子结婚，大臣给出一个匹配表，每个王子都和一个妹子结婚，但是国王不满意，他要求大臣给他另一个表，每个王子可以和几个妹子结婚，按序号升序输出妹子的编号，这个表应满足所有的王子最终都有妹子和他结婚。

解题分析：  <转载于 >>> >

　　如果王子u喜欢妹子v，则建一条边u指向v(u,v)，对于大臣给出的初始完美匹配，如果王子u和妹子v结婚，则建一条边v指向u(v,u)，然后求强连通分量。对于每个王子和妹子，如果他们都在同一个强连通分量内，则他们可以结婚。

　　为什么呢？因为每个王子只能和喜欢的妹子结婚，初始完美匹配中的丈夫和妻子之间有两条方向不同的边可以互达，则同一个强连通分量中的王子数和妹子数一定是相等的，若王子 x 可以和另外的一个妹子 a 结婚，妹子 a 的原配王子 y 肯定能找到另外一个妹子 b 结婚，因为如果找不到的话，则 x 和 a 必不在同一个强连通分量中。

所以一个王子可以和所有与他同一强连通分量的妹子结婚，而这不会导致同一强连通分量中的其他王子找不到妹子结婚。

（证明：王子为什么不能选择不同强连通分量的妹子：

　　反证法：如果强连通分量 1 中的王子选择了强连通分量 2 中的妹子,那么势必强连通分量 2 中的一个王子无法在自己的强连通分量中找到妹子,那么他就会去别的强连通分量找妹子,这样一直循环下去，我们知道最终一定是经过了强连通分量 1,2,x1,x2,xn,……,1，王子们才能都找到自己的妹子，这样这些强连通分量1,2,x1,x2,xn,……,1会构成一个强连通分量,与题设在不同强连通分量中找妹子不符）。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

#define clr(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
const int N = 5e3 + 10;

int n, tot, scc, top;
int stk[N], dfn[N], low[N], belong[N], instack[N], ans[N];
vector<vector<int> > G;
void init() {
  tot = scc = top = 0;
  clr(dfn, 0);clr(stk, 0);clr(low, 0);clr(belong, 0);clr(instack, 0);
  G.clear(), G.resize(N);
}
void Tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++tot;
  stk[++top] = u;
  instack[u] = 1;
  int v;
  for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
    v = G[u][i];
    if (!dfn[v]) {
      Tarjan(v);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
    } else if (instack[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
  }
  if (low[u] == dfn[u]) {
    ++scc;
    do {
      v = stk[top--];
      instack[v] = 0;
      belong[v] = scc;  //将该强连通块缩点染色
    } while (v != u);
  }
}
int main() {
  while (scanf("%d", &n) != EOF) {
    init();
    int k, x;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      scanf("%d", &k);
      while (k--) {
        scanf("%d", &x);
        G[i].push_back(x + n);  //王子编号为1~n,公主编号为n+1~2*n
      }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      scanf("%d", &x);
      G[x + n].push_back(i);  //根据该完美匹配，让公主与对应的王子连边
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int u = belong[i], v;
      clr(ans, 0);  // ans[]存所有能够与当前王子进行配对的公主
      int cur = 0;
      for (int j = 0; j < G[i].size(); j++) {  //找出当前王子所在联通块的公主数量
        v = belong[G[i][j]];
        if (u == v) ans[cur++] = G[i][j];
      }
      sort(ans, ans + cur);           
      printf("%d ", cur);
      for (int i = 0; i < cur; i++) {
        printf("%d%s", ans[i] - n, i == cur - 1 ? "\n" : " ");
      }
    }
  }
}