poj 3685 Matrix 【二分】

<题目链接>

题目大意：

给你一个n*n的矩阵，这个矩阵中的每个点的数值由   i² + 100000 × i + j² - 100000 × j + i × j  这个公式计算得到，N(1 ≤ N ≤ 50,000)，现在问你，这个矩阵中第m小的数是多少？

解题分析：
仔细研究这个式子不难发现，在每一列，即 j 一定的时候，这个式子的数值随着 i 的增大而增大，也就是说，在这个矩阵的每一列，式子满足从上自下递增的规律，符合单调性。我们由此可以想到二分，先二分答案，即二分出第m 小的数数值为多少，然后再根据二分出的答案mid，遍历一遍矩阵的每一列，对每一列进行二分，快速求得每一列数值小于mid 的数的个数,然后将它们相加，以此来判断二分出的答案的正确性。

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;
ll n,m;
ll calculate(ll i,ll j){
    return i*i+100000*i+j*j-100000*j+i*j;
}
bool check(ll x){
    ll sum_smaller=0;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        ll l=0,r=n;
        ll ans=0;
        while(l<=r){
            ll mid=(l+r)>>1;
            if(calculate(mid,j)<x)ans=mid,l=mid+1;  //因为后面要根据小于x的数的个数，来判断x是否为第m小的数，所以这里只取<x的数,用"<" 
            else r=mid-1; 
        }
        sum_smaller+=ans;
    }
    return sum_smaller<m;
}
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll l=-100000*n,r=3*n*n+100000*n;
        ll ans;
        while(l<=r){
            ll mid=(l+r)>>1;
            if(check(mid))ans=mid,l=mid+1;  //当比mid小的数<m个时，继续二分，直到恰好比mid小的数的个数>=m时，此时枚举的mid一定是矩阵中的数
            else r=mid-1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

 

2018-09-21