牛客练习赛 26 B题 烟花【DP】(经典)

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题目描述
小a有$n$个烟花，每个烟花代表着互不相同的颜色，对于第$i$个烟花，它有$p_i$的概率点燃，现在小a要去点燃它们，他想知道产生颜色的期望个数 及 产生恰好产生$k$种颜色的概率。
对于$100%$的数据$(n \leq 10^5 ,k \leq 2 \times 10^2)$输出均保留4位小数,若你的答案误差与std不超过$10^{-4}$即为正确
解题分析：
本题是比较经典的dp，$dp[i][j]$表示前i件物品中产生j件物品的概率，不难想到，状态转移方程为：$dp[i][j] = dp[i-1][j]*(1-p[i])+dp[i-1][j-1]*p[i]$;
意思是：前$i$件物品中产生$j$个颜色的概率为前$(i-1)$个物品产生$j$个颜色*第$i$个物品不产生颜色的概率，加上前$(i-1)$件物品产生$(j-1)$种颜色*第i个物品产生颜色的概率。然后再用滚动数组优化成一维dp即可。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
double p[N];
double dp[1010];    //实际上是dp[i][j]，只不过下面用了滚动数组，意义是前i个物品产生j中颜色的概率

int main(){
    int n,k;
    scanf("%d %d",&n, &k);
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lf",&p[i]), ans += p[i];
    
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = k;j>=0;j--){
            dp[j] = dp[j]*(1-p[i])+dp[j-1]*p[i];
        }//前i个物品产生j种颜色的概率为，前i-1个物品产生 j种颜色的概率*第i个物品不产生颜色的概率加上前i-1个物品产生j-1个颜色的概率*第j个物品产生颜色的概率 
    }

    printf("%.4f\n%.4lf",ans,dp[k]);
    return 0;
}