算法：全排列问题——递归枚举法

全排列问题是一道非常经典的递归题目，而递归枚举法求解也是最暴力的一种方法。

例题

洛谷1706 全排列问题

题目描述
输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

输入格式
一个整数n。

输出格式
由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。
每个数字保留 5个场宽。

输入样例

3

输出样例

    1    2    3
    1    3    2
    2    1    3
    2    3    1
    3    1    2
    3    2    1

全排列问题——递归枚举法

这是一道经典的递归的题，每次递归枚举第x个数字是几，就是从1到n枚举一个遍，如果说当前数字还未被使用（flag[x]为false），就让a[x] = i，并将i标记为使用过（flag[x] = true）。如果dfs到第（n + 1）了就输出a数组，之后返回就行了。

简而言之，就是每到一位我就选一个尚未被使用过的数字。

这里我们可以算一下由1～n组成的全排列的数量：第一位我们可以从1 ~ n中任选一个数，之后到第二位我们发现除了第一位的数a[1]不能选还能选(n - 1)个数，再到第三位我们发现除了第一位和第二位的数a[1]、a[2]不能选还能选(n - 2)个数……到第n位我们发现只剩下一种选择方法。所以利用数学上排列组合中的乘法原理可以算出由1～n组成的全排列有n!个。

最后，算一下时间复杂度，我们发现需要从1到n一位一位的看，之后每位还要枚举1 ~ n，所以总时间复杂度为O(nⁿ)。

代码

# include <cstdio>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>

using namespace std;

const int N_MAX = 10;

int n;
int a[N_MAX + 10];
bool flag[N_MAX + 10];

void permutation(int x)
{
	if (x > n) {
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			printf("%5d", a[i]);
		printf("\n");
		return;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (flag[i]) continue;
		a[x] = i;
		flag[i] = true;
		permutation(x + 1);
		flag[i] = false;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	permutation(1);
	return 0;
}