第七届蓝桥杯大赛个人赛决赛（软件类C语言B组）第一题：一步之遥

 

这题好多人用爆搜/bfs来做，然而这题可用exgcd(扩展欧几里得)做，而且很简便。

 

先附原题：

一步之遥

从昏迷中醒来，小明发现自己被关在X星球的废矿车里。
矿车停在平直的废弃的轨道上。
他的面前是两个按钮，分别写着“F”和“B”。

小明突然记起来，这两个按钮可以控制矿车在轨道上前进和后退。
按F，会前进97米。按B会后退127米。
透过昏暗的灯光，小明看到自己前方1米远正好有个监控探头。
他必须设法使得矿车正好停在摄像头的下方，才有机会争取同伴的援助。
或许，通过多次操作F和B可以办到。

矿车上的动力已经不太足，黄色的警示灯在默默闪烁…
每次进行 F 或 B 操作都会消耗一定的能量。
小明飞快地计算，至少要多少次操作，才能把矿车准确地停在前方1米远的地方。

请填写为了达成目标，最少需要操作的次数。

注意，需要提交的是一个整数，不要填写任何无关内容（比如：解释说明等）

【答案】97

//法一：笔算（用数论exgcd的方法）
ax + by = 1
根据题意知 a = 97, b = -127
按如下方式列出等式：
-127 = -1 * 97 - 30
97 = -3 * (-30) + 7
-30 = -4 * 7 - 2
7 = -3 * (-2) + 1
-2 = 1 * (-2) + 0

然后依照上面的式子开始整理,用含有a, b的式子表示上面的每个余数
b = -a - 30
-30 = a + b
b = (-3) * (a + b) + 7
7 = 4*a + 3*b
...
...
这样一个个代入
最终得到 55a + 42b =1
操作的次数就是 55 + 42 = 97 了

法二是写extendedEuclidean。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

long long extendedEuclidean(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    if (!b) {
        x = 1; y = 0; return a;
    }
    long long g = extendedEuclidean(b, a % b, x, y);
    long long t = x - a / b * y;
    x = y;
    y = t;
    return g;
}

int main()
{
    long long a, b;
    while (scanf("%lld%lld", &a, &b) == 2) {
        long long x = 1, y = 0;
        long long g = extendedEuclidean(a, b, x, y);
        while (x < 0) {
            x += b / g; y -= a / g;
        }
        cout << g << ' ' << '(' << x << ',' << y << ')' << endl;
    }

    return 0;
}

 

 输入：

97 -127

输出：
1 (55,42)

------------------

55 + 42 = 97