用matlab对信号进行傅里叶变换

傅氏变换分析是信号分析中很重要的方法，借助matlab可以很方便的对各类信号进行傅氏频域分析。本文介绍了集中离散的傅氏变换以及matlab实现方法。

1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform)

代码：

 1 N=8;                         %原离散信号有8点
 2 n=[0:1:N-1]                  %原信号是1行8列的矩阵
 3 xn=0.5.^n;                   %构建原始信号，为指数信号
 4 
 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800;     %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）    
 6 X=xn*exp(-j*(n'*w));         %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
 7 subplot(311)
 8 stem(n,xn);
 9 title('原始信号(指数信号)');
10 subplot(312);
11 plot(w/pi,abs(X));
12 title('DTFT变换')

结果：
分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。

2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对计算机的计算来说是不可以实现的，DFT就是序列的有限傅里叶变换。实际上，1中我给的代码也只是对频域的-800----+800中间的1601点求了和，也不是无数次求和。

实现代码：

N=8;                         %原离散信号有8点
n=[0:1:N-1]                  %原信号是1行8列的矩阵
xn=0.5.^n;                   %构建原始信号，为指数信号
 
w=[-8:1:8]*4*pi/8;     %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）   
X=xn*exp(-j*(n'*w));         %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
subplot(311)
stem(n,xn);
w1=[-4:1:4]*4*pi/4;
X1=xn*exp(-j*(n'*w1));
title('原始信号(指数信号)');
subplot(312);
stem(w/pi,abs(X));
title('原信号的16点DFT变换')
subplot(313)
stem(w1/pi,abs(X1));
title('原信号的8点DFT变换')

结果图：

分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。

3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform）

虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。

实现代码：

 1 N=64;                         %原离散信号有8点
 2 n=[0:1:N-1]                  %原信号是1行8列的矩阵
 3 xn=0.5.^n;                   %构建原始信号，为指数信号
 4 Xk=fft(xn,N);
 5 subplot(221);
 6 stem(n,xn);
 7 title('原信号');
 8 subplot(212);
 9 stem(n,abs(Xk));
10 title('FFT变换')

效果图：