信号完整性（SI）电源完整性（PI）学习笔记（十）传输线的物理基础（三）
传输线的物理基础（三）
1.理想传输线是一种新的理想电路元件；恒定的瞬时阻抗和相应的时延。
2.当把理想的分布传输线近似为一系列的LC电路时，模型中表示的电感实际上就是回路电感。单位长度电容Cl，单位长度电感Ll都为常数，这两个参数被称为线参数。
在极端情况下，当电容和电感无穷小时， LC 电路的节数就趋于无穷，单位长度电容C, 和单位长度电感L, 都为常数。这两个参数通常称为传输线的线参数。如果给出传输线的总长度Len, 那么总电容为：
总电感为：
其中：
CL 表示单位长度电容
LL 表示单位长度电感
Len 表示传输线长度
3.只看这个LC 电路， 很难想象信号是如何传输的。乍一看， 可能会认为这有很多振荡和谐振。但是， 当各元件是无穷小时。
运用网络理论， 根据传输线的线参数和总长度， 可以计算出传输线的特性阻抗和时延（在每个节点上都受到的瞬时阻抗）：
其中：
Z0 表示特性阻抗，单位为Q
LL 表示传输线的单位长度回路电感
C, 表示传输线单位长度电容
TD 表示传输线的时延
Ltotal 表示传输线的总回路电感
Ctotal 表示传输线的总电容
v传输线中的信号速度
这两个预计的特性（特性阻抗和时延）必须和基于电容排列组成的有限速度的零阶模型导出的结果一致。将两个模型的结论联系起来，就可以得出很多重要的关系式。
因为信号的速度取决千材料的介电常数、单位长度电容和单位长度电感，所以可以将单位长度电容和单位长度电感联系起来：
从特性阻抗和速度的关系，可以得出下列关系式：
从传输线的时延和特性阻抗，可以得出下列关系式：
其中：
Z 表示特性阻抗，单位为Ω
LL 表示传输线的单位长度回路电感，单位为nH/in
CL 表示传输线单位长度电容，单位为nF/in
TD 表示传输线的时延，单位为ns
Ltotal 表示传输线的总回路电感，单位为nH
Ctotal 表示传输线的总电容，单位为nF
v 表示传输线中的信号速度，单位为in/ns
例如， 传输线的特性阻抗为50Ω，FR4 介电常数为4, 则单位长度的电容为CL=83/50x2=3.3( pF/in ) ， 单位长度电感为： LL =0.083x50x2=8.3 ( nH/in ) 。
如果线宽加倍，则为了保持特性阻抗不变，电介质的厚度也应加倍，此时单位长度电容不变。
4.从导线横截面几何结构中求解特性阻抗：
（1）经验法则；
（2）解析近似式；
（3）二维场求解器。
5.FR4板上50Ω微带线的线宽等于介质厚度的两倍。而50Ω带状线的两平面之间的总介质等于线宽的两倍。
6.几种类型横截面阻抗的确切公式：
（1）同轴型横截面的特性阻抗与横截面的关系：
（2）双圆杆型横截面的特性阻抗与横截面的关系：
（3）圆杆-平面型横截面的特性与横截面的关系：
（4）微带线，IPC推荐近似公式：
（5）带状线，IPC推荐公式：
7.在一阶模型中，微带线和带状线的特性阻抗与介质厚度和线宽的比值成比例变化，只要这个比值保持不变，特性阻抗就恒定不变。
8.**均匀的几何结构是二维场求解器的基本前提，即整条传输线的横截面形状是相同的。**均匀横截面积也是可控阻抗传输线的基本要义。在这种情况下，传输线的特性阻抗只有一个。
9.除了能准确地估算出特性阻抗，从二维场求解器还可以悟出二阶因素的如下影响：
（1）返回路径的宽度；
（2）信号线条的导线厚度；
（3）表面线条上阻焊层的存在；
（4）有效介电常数。
如果返回路径的宽度很窄，电容就很小，特性阻抗就很高。信号路径两边返回路径的延伸宽度应该约为介质厚度h的的3倍。
10.随着导线厚度的增加，更多的边缘场会出现在侧边，这样每单位长度的电容就会增加。所以，随着导线厚度的增加，其特性阻抗会降低。
信号路径的厚度每增加1mil，特性阻抗约下降2Ω。
11.在很高的带宽内，实际互联与理想传输线的特性非常吻合，理想传输线是实际互联很好的模型。
理想传输线电路元件是一个分布模型。图给出了1 in长末端开路传输线的测量阻抗与仿真阻抗的频域比较。可以看出， 在测量带宽5GHz内，两者相当吻合。
12.当理想传输线长度为半波长的整数倍时，传输线的阻抗就会出现谐振峰值：
其中：
fres 表示阻抗中峰值的频率；
m 表示峰值的个数， 即传输线上的半波数目；
TD 表示传输线的时延；
f0表示传输线上全波的频率。
m=1 时，第一个谐振频率为1x 1 GHz/2=0.SGHz 。这时传输线上只有一个半波，时延TD 为lns 。m=2 时，第一个谐振频率为2x lGHz/2=1GHz 。这时传输线上恰好有一个全波。下图画出了这些谐振的驻波模式。
单节LC 电路模型的带宽约为第一个谐振频率的四分之一， 即约为125MHz 。增加传输线的节数， 就可以提高模型的带宽。如果把传输线分成两节，则每节都可以建成相同的LC模型， 其中每节的L和C分别为Ltotal/2和Ctotal/2 。下图给出了两节LC模型的带宽约在第一个谐振峰值的二分之一处， 频率约为250MHz。
增加传输线的分节数，可以进一步扩展集总电路模型的带宽。可以用LC 集总电路单元的级联来近似这个理想电路模型。下图给出了理想传输线和16节LC集总电路模型的比较， 其中每节的L和C分别为Ltotal16和Ctotal/16。这个模型带宽达到第4个谐振峰值， 即2GHz。
根据理想传输线的时延，可以估算出n 节集总电路模型的带宽。上面的例子表明， LC 模型的节数越多，带宽就越高。一节模型的带宽只有第一个谐振频率的四分之一，两节模型的带宽为第一个谐振频率的二分之一， 16 节模型的带宽为第4 个谐振频率。可以归纳出吻合的最高频率一一模型的带宽：
其中：
BWmodel 表示 n 节集总电路模型的带宽
n 表示模型中 LC 的节数
TD 表示传输线的时延
f0表示全波的谐振频率，等于 1/TD
为了使关系式更简洁、便于记忆，把它们近似为 n = 10 × B W m o d e l × T D n=10×BW_model×TD n=10×BWmodel×TD, 而不是采用$n=8 × BW_{model} × TD $。
这是个非常重要的经验法则，它说明了要使模型的带宽达到1/TD, 需要10 节LC 电路。也就是说因为这个频率相当于传输线上仅有一个全波，为了更好地近似，每1/10个信号波长就必须对应一节 LC 电路。
也可以估算出用单个LC 电路近似传输线时的带宽，或者说， 在多高的频率范围内传输线可以近似成单个LC 电路。单个LC 电路的带宽为：
如果信号的上升沿时间为RT, 则信号带宽为BWsig=0.35/RT 。如果传输线的时延为TD, 并用n节集总电路模型来近似， 则必须保证模型的带宽BWmodel至少大于信号的带宽BWsig：
BWsig 表示信号的带宽；
BWmodel 表示模型的带宽；
RT 表示信号的上升时间；
TD 表示传输线的时延；
n 表示精确模型所需LC电路的最小节数。
表明， 如果上升沿时间等千传输线时延， 则此传输线的精确模型至少需要3.5节LC 电路。用n节LC模型精确地描述一条传输线时， 前沿的空间延伸至少需要3.5节LC 电路， 或者说， 每1/3前沿时间与传输线的相互作用可以用一个集总电路元件来近似。
13.在FR4 中， 信号速度约为6in/ns（光速）, 当上升时间为RT 时， 每节LC 电路对应线长为1.7RT 。当给定上升时间RT(ns) 时，n节LC集总电路模型要达到足够高的带宽，每节LC电路对应的线长必须小于1.7RT(in) 。
14.约在50MHz 以上时，传输线的特性阻抗是个常量，不再随频率而变化。这个值就是通常用来估计各种高速信号性能的“高频“特性阻抗。
