P3305 [SDOI2013]费用流
题目描述
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。 最大流问题:给定一张有向图表示运输网络,一个源点S和一个汇点T,每条边都有最大流量。
一个合法的网络流方案必须满足:
(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负;
(2)除了源点S和汇点T之外,对于其余所有点,都满足该点总流入流量等于该点总流出流量;而S点的净流出流量等于T点的净流入流量,这个值也即该网络流方案的总运输量。
最大流问题就是对于给定的运输网络,求总运输量最大的网络流方案。 上图表示了一个最大流问题。对于每条边,右边的数代表该边的最大流量,左边的数代表在最优解中,该边的实际流量。需要注意到,一个最大流问题的解可能不是唯一的。
对于一张给定的运输网络,Alice先确定一个最大流,如果有多种解,Alice可以任选一种;之后Bob在每条边上分配单位花费(单位花费必须是非负实数),要求所有边的单位花费之和等于P。
总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到,Bob在分配单位花费之前,已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小,而Bob希望总费用尽量大。我们想知道,如果两个人都执行最优策略,最大流的值和总费用分别为多少。
输入输出格式
输入格式:
第一行三个整数N,M,P。N表示给定运输网络中节点的数量,M表示有向边的数量,P的含义见问题描述部分。为了简化问题,我们假设源点S是点1,汇点T是点N。
接下来M行,每行三个整数A,B,C,表示有一条从点A到点B的有向边,其最大流量是C。
输出格式:
第一行一个整数,表示最大流的值。第二行一个实数,表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
输入输出样例
说明
【样例说明】
对于Alice,最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob,给第一条边分配0.5的费用,第二条边分配0.5的费用。总费用为:10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据:所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据:N < = 100,M < = 1000。
对于l00%的测试数据:所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
题解:
这是一个假的费用流,不要被名字骗啦,其实这是一个最大流的题目,思考一下,想要获得最大值,我们只需要让全部的P在最长的边上就可以了(仔细想想,我有最长边一定是最长边上*p),但是到达最大流我们可能经过多个途径,我们需要做的是找到一条路
,使其中最长的边最短,这就需要二分了,我们二分最长的那个边,使其最短。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long const int inf=0x3f3f3f3f; const int MAXN=1000+10; int n,m,p;//点数、边数 int sp,tp;//原点、汇点 struct node { int v,next; double cap; }mp[MAXN*10]; int pre[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN];//cur为当前弧优化,dis存储分层图中每个点的层数(即到原点的最短距离),pre建邻接表 int cnt=0; double ans=0; struct { int x,y; double z; }edge[MAXN]; void init()//不要忘记初始化 { cnt=0; memset(pre,-1,sizeof(pre)); } void add(int u,int v,double w)//加边 { mp[cnt].v=v; mp[cnt].cap=w; mp[cnt].next=pre[u]; pre[u]=cnt++; mp[cnt].v=u; mp[cnt].cap=0; mp[cnt].next=pre[v]; pre[v]=cnt++; } bool bfs()//建分层图 { memset(dis,-1,sizeof(dis)); queue<int>q; while(!q.empty()) q.pop(); q.push(sp); dis[sp]=0; int u,v; while(!q.empty()) { u=q.front(); q.pop(); for(int i=pre[u];i!=-1;i=mp[i].next) { v=mp[i].v; if(dis[v]==-1&&mp[i].cap>0) { dis[v]=dis[u]+1; q.push(v); if(v==tp) break; } } } return dis[tp]!=-1; } double dfs(int u,double cap)//寻找增广路 { if(u==tp||cap==0) return cap; double res=0,f; for(int &i=cur[u];i!=-1;i=mp[i].next) { int v=mp[i].v; if(dis[v]==dis[u]+1&&(f=dfs(v,min(cap-res,mp[i].cap)))>0) { mp[i].cap-=f; mp[i^1].cap+=f; res+=f; if(res==cap) return cap; } } if(res==0) dis[u]=-1; return res; } double dinic() { double ans=0; while(bfs()) { for(int i=0;i<=tp;i++) cur[i]=pre[i]; ans+=dfs(sp,inf); } return ans; } bool check(double x) { init(); for (int i = 0; i <m ; ++i) { add(edge[i].x,edge[i].y,min(edge[i].z,x)); } sp=1,tp=n; double sum=dinic(); return sum==ans; } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); init(); double MAX=0; for (int i = 0; i <m ; ++i) { scanf("%d%d%lf",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z); add(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].z); MAX=max(MAX,edge[i].z); } sp=1;tp=n; ans=dinic(); printf("%.0lf\n",ans); double l=0,r=500001,mid; while (r-l>(1e-7)) { mid=(l+r)/2; if(check(mid)) { r=mid; } else { l=mid; } } printf("%lf\n",mid*p); return 0; }