LeetCode OJ：Add Digits（数字相加）

　　Given a non-negative integer num, repeatedly add all its digits until the result has only one digit.

　　For example:

　　Given num = 38, the process is like: 3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Since 2 has only one digit, return it.

　　Follow up:
　　Could you do it without any loop/recursion in O(1) runtime?

想要做出来很简单，但是关键在于这里的最后一句话，要在O(1)时间内，而且不能使用循环或者递归。

这里就要说说有关数字根的概念了：

定义

        数字根（Digital Root）就是把一个数的各位数字相加，再将所得数的各位数字相加，直到所得数为一位数字为止。而这个一位数便是原来数字的数字根。适用范围为正整数和零。例如:

1的数字根为1

10的数字根为1（1+0=1）

21的数字根为3（2+1=3）

48的数字根为3（4+8=12,1+2=3）

198的数字根为9（1+9+8=18，1+8=9）

 

性质说明

1.任何数加9的数字根还是它本身。

       小学学加法的时候我们都明白，一个数字加9，就是把十位加1，各位减1。因此十位加个位的和是不变的；如果有进位，即十位上是9，那么进位之后十位会变成0，百位会加1，道理和一个一位数加9是一样的。

2.9乘任何数字的数字根都是9。

      同样是小学时学乘法时，我们在计算一位数乘九的时候，把十只手指头排开，乘几便弯下第几只手指头，前后的手指个数便是那个结果。它的数字根永远是10-1=9。多位数的化，拆分每一位数字即可。

3.数字根的三则运算

　　1.两数之和的数字根等于这两个数的数字根的和数字根

       对于两个一位数来说，很容易理解。因为一位数的数字根就是它本身。

       对于多位数来说，由性质1，把每个数字mod 9，就又变成了两个一位数。

　　2.两数之积的数字根等于这两个数的数字根的积的和数字根

       可以把每个数字拆成许多9相加的形式，最后各剩余一个 (a mod 9)， 由

            (a1+a2+...)*(b1+b2+...)=a1*(b1+b2+...)+a2*(b1+b2+...)+...+an*bm

       从a1到a[n-1]都是9，由性质2，原来两式的数字根就是（an*bm）的数字根。而由性质1，可知an,bm又是两数本身的数字根。

　　3.一个数字的n次幂的数字根等于这个数字的数字根的n次幂的和数字根  

　　这一部分是转载 数字根介绍 的；

　　所以可以得知计算数字根的公式就是：root = (num - 1) % 9 + 1;  PS:这里的 -1主要是为了避免num正好是9的倍数，那样数根应该正好是9， 而不应该是0才对。

　　代码不言而喻，只不过道理应该想清楚才对：

　　考虑一下 result = (num - 1) % 9 + 1; 那么就有

　　　　　　result - 1 = (num - 1) % 9; 那么 digitRoot(result - 1) == digitRoot(num - 1);

　　那么根据上面所说的，就有：result的数字根与num的数字根就是一样的了。所以这个等式成立。

class Solution {
public:
    int addDigits(int num) {
        return (num - 1)%9 + 1;
    }
};

 java版本代码如下所示：

public class Solution{
    public int addDigits(int num){
        return (num - 1)%9 + 1;
    }
}