石子合并
[问题描述]：
设有n堆石子排成一排，其编号为1、2、3、…、n（n<=100）。每堆石子的数量用：a[1]、a[2]、…、a[n] 表示，现将这n堆石子归并成一堆，归并的规则：
每次只能将相邻两堆归并成一堆，即：第 1 堆石子 a[1] 只能与第 2 堆石子 a[2] 归并，最后一堆石子 a[n] 只能与 a[n-1] 归并，中间的石子 a[i] 只能与 a[i-1] 或 a[i+1] 归并；
每次归并的代价是两堆石子的重量之和。
我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100
按照贪心法，合并的过程如下：
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分＝11＋18＋25+125＝179
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分＝13＋12＋25+125＝175
显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
一：任意版
有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为的一堆石子的数量。设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
此类问题比较简单，就是哈夫曼编码的变形，用贪心算法即可求得最优解。即每次选两堆最少的，合并成新的一堆，直到只剩一堆为止。证明过程可以参考哈夫曼的证明过程。
所用的数据结构：
1、 是堆，取两次堆顶的最小元素，相加后再加入堆中，重复n-1次即可。
2、 两个队列，一个是原始的从小到大排序后的石子序列A。
一个合并后的石子生成的序列B，
注意：这两个序列都是有序的（从小到大），总是从它们中取出最小的两个相加到序列B。
二：直线版
在一条直线上摆着N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为将的一堆石子的数量。设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
如果熟悉矩阵连乘对这类问题肯定非常了解。矩阵连乘每次也是合并相邻两个矩阵（只是计算方式不同）。那么石子合并问题可用矩阵连乘的方法来解决。
那么最优子结构是什么呢？如果有N堆，第一次操作肯定是从n-1个对中选取一对进行合并，第二次从n-2对中选取一对进行合并，以此类推……
分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：
dp[i, j] = 0; (i=j)
dp[i, j] = min{ dp[i, k] + dp[k+1, j] } + sum[i, j]; (i != j)
代码：
java：
import java.util.Scanner;
import java.lang.Math;
public abstract class StoneAdd {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m = sc.nextInt();
int a[] = new int[m];//存放m堆石子中各堆石子数量
int f[] = new int[m];//存放从第一堆到第i堆的石子的总数
int sum[][] = new int[m][m];//存放从第i堆到第j堆石子的总数
int b[][] = new int[m][m];//吧b[i][j]即为在i~j的区间内石子合并的最优值
a[0] = sc.nextInt();
f[0] = a[0]; //输入各堆石子数，并得到第一堆到第i堆的石子的总数
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
f[i] = a[i] +f[i-1];
}
for (int i = 0; i < sum.length; i++) { //得到第i堆到第j堆石子的总数
for (int j = i+1; j < sum[i].length; j++) {
if(i==0) {
sum[i][j] = f[j];
}else {
sum[i][j] = f[j]-f[i-1];
}
}
}
for (int i = 0; i < b.length; i++) { //初始化b[][]数组为无穷大，并且当i==j的时候b[][]=0
for (int j = i; j < b[i].length; j++) {
b[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
if(i==j) {
b[i][j] = 0;
}
}
}
for (int i = 1; i < b.length; i++) {
for (int j = 0; j < b.length-i; j++) {
for (int k = j; k < j+i; k++) {
b[j][j+i] = Math.min(b[j][j+i], b[j][k]+b[k+1][j+i]+sum[j][j+i]);
}
}
}
System.out.println(b[0][m-1]);
}
}
三、加强版
- 描述
还记得经典题石子合并吗？现在小Y将题目加强啦！
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的三堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
编一程序，读入石子堆数n及每堆的石子数。选择一种合并石子的方案，使得做(n-1)/2次合并，得分的总和最小。
- 输入
第1行一个数，表示石子堆数。
第2行是顺序排列的各堆石子数(<=1000)，每两个数之间用空格分隔。
- 输出
输出合并的最小得分。
- 例子输入
5
1 2 3 4 5
- 例子输出
21
c:
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,W[402],a[402],F1[402][402],F2[402][402];
int main(){
freopen("merge.in","r",stdin);
freopen("merge.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&W[i]);
a[i]=a[i-1]+W[i];
}
memset(F1,127/2,sizeof(F1)); memset(F2,127/2,sizeof(F2));
for (int i=n;i;i--){
F1[i][i]=0;
F1[i][i+2]=a[i+2]-a[i-1];
for (int j=i+3;j<=n;j++){
for (int k=i;k<j;k++) F2[i][j]=min(F2[i][j],F1[i][k]+F1[k+1][j]);
for (int k=i;k<j;k++) F1[i][j]=min(F1[i][j],min(F1[i][k]+F2[k+1][j],F2[i][k]+F1[k+1][j])+a[j]-a[i-1]);
}
}
if (n&1) printf("%d",F1[1][n]);
else printf("Impossible");
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}
四、圆形版
如果石子是排成圆形，其余条件不变，那么最优值又是什么呢？
因为圆形是首尾相接的，初一想，似乎与直线排列完全成了两个不同的问题。因为每次合并后我们都要考虑最后一个与第一个的合并关系。直线版的矩阵连乘对角线式的最优子结构不见了。f(i, j)表示i-j合并的最优值似乎并不可行，因为我们可以得到的最优值第一步就是第一个与最后一个合并，那么f(i, j)并不能表示这种关系。
修改一下，f(i, j)表示从第i个开始，合并后面j个得到的最优值。sum(i, j)表示从第i个开始直到i+j个的数量和。那么这个问题就得到解决了。注意要把其看成环形，即在有限域内的合并。
破圆化直：将圆形的石子归并化为直线型石子归并。
方法是：将原来的石子长度增加一倍，加在原来的后面，a[1]~a[n],a[1]~a[n],
求从1，2，3，~n开始的n个合并的最小值，最其中一个最小值即可。
