洛谷题解P1464 Function

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Description

给定 \(a,b,c\)，对于一个递归函数 \(w(a,b,c)\)

• \(a \le 0\ ||\ b \le 0\ ||\ c \le 0 \to return\ 1\).
• \(a>20\ ||\ b>20||\ c>20\to return\ w(20,20,20)\)
• \(a<b\) 且 \(b<c\) \(\to return\ w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)\)
• \(return\ w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)\)

Solution

读一遍题，很轻松就能写出以下代码 :

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll w(ll a,ll b,ll c){
	int f[30][30][30];
	memset(f,0,sizeof(0));
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	if(a>20||b>20||c>20) return w(20,20,20);
	if(a<b&&b<c) return w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
	return w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
}
int main(){
	ll a,b,c;
	while(scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c)){
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) break;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = %lld\n",a,b,c,w(a,b,c));
	}
	return 0;
}

当然，这个代码会 TLE

题目中明确提到了这一点 :

当 \(a,b,c\) 均为 \(15\) 时，调用的次数将非常的多

并且也明确告诉我们了一种思路 :

记忆化搜索

这里我们用一个 \(f[a][b][c]\) 来记录 \(a,b,c\) 三个数的 \(w\) 函数值是否有无被计算过。

• 如果计算过，直接 \(return\)

• 如果没有计算过，按照条件把 \(w(a,b,c)\) 的值记录在 \(f[a][b][c]\) 中

还有关于记忆化数组 \(f\) 的大小问题

这里一定要关注 Description 中的

\(a \le 0\ ||\ b \le 0\ ||\ c \le 0 \to return\ 1\).

\(a>20\ ||\ b>20||\ c>20\to return\ w(20,20,20)\)

这就意味着我们处理 \(a,b,c\) 时，当且仅当 \(a,b,c\) 均 \(\in (0,20]\)

故我们可以开一个大小为 \(21\) 的数组（以示对出题人的尊敬）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll f[21][21][21];
inline ll w(ll a,ll b,ll c){
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	if(a>20||b>20||c>20) return w(20,20,20);
	if(a<b&&b<c){
		if(f[a][b][c]==0){
			f[a][b][c]=w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
		}
	}
	else if(f[a][b][c]==0){
		f[a][b][c]=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
	}
	return f[a][b][c];
}
int main(){
	ll a,b,c;
	while(scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c)){
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) return 0;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = %lld\n",a,b,c,w(a,b,c));
	}
	return 0;
}