洛谷题解P3378 【模板】堆 暨 浅谈堆

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\(\text{Solution}\)
一道堆的模板题，借此机会来讲一下堆的概念及基本操作。

\(1\).概念
堆为一种数据结构，即用数组来实现一棵 完全二叉树
有小根堆和大根堆两种。

• 大根堆 : 根节点点权最大
• 小根堆 : 根节点点权最小
• 所有的堆都满足一下一条性质 : 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值

当然，在 \(\text{STL}\) 中有其对应的数据结构（优先队列实现）
这里主要来说手写堆（用数组实现）


以上分别是一张小根堆示意图和一张大根堆示意图。（图中点内数字表示点权）

\(2\).操作

\((1).push\) （把一个元素 \(x\) 加入堆）
思想如下 :

• 把 \(x\) 放进堆尾
• 比较当前节点与其父节点的大小
  • 如是小根堆，即当当前节点比其父节点点权小时，交换当前节点与其父节点，循环往复，直至满足小根堆的要求为止。
  • 如实大根堆，即当当前节点比其父节点点权大时，交换当前节点与其父节点，循环往复，直至满足大根堆的要求为止。

则我们可以得到以下代码 ：

inline void push(int p){
	int fa,now;
	heap[++cnt]=p;	//加入堆 
	now=cnt;	//注意初始化为当前堆尾 
	while(now>1){
		fa=now>>1;	//取其父节点 
		if(heap[now]<heap[fa]){	//小根堆为 "<" ，大根堆为 ">" 
			swap(heap[now],heap[fa]);
			now=fa;
		}
		else return;
	}
}

\((2).delete\)（删除堆中的最值节点）

对于这个问题，分两种情况讨论

• 小根堆
  • 删除最小值
    • 把堆尾元素的值覆盖到堆的根节点（小根堆最小值）上，相当于完成了删除操作。
    • 比较当前节点与其子节点的大小，当当前节点比其儿子大时，交换当前节点与其儿子的值，循环往复，直到满足小根堆的要求为止。
    • 特别地，当此节点有两个子节点时，需要找出较小的那个，完成交换
  • 删除最大值
    • 直接删除堆尾元素
• 大根堆
  • 删除最小值
    • 直接删除堆尾元素
  • 删除最大值
    • 把堆尾元素的值覆盖到堆的根节点（大根堆的最大值）上，相当于完成了删除操作。
    • 比较当前节点与其子节点的大小，当当前节点比其儿子小时，交换当前节点与其儿子的值，循环往复，直到满足大根堆的要求为止。
    • 特别地，当此节点有两个子节点时，需要找出较大的那个，完成交换

则我们可以得到以下代码 :

inline void deleted(){
	heap[1]=heap[cnt--];	//覆盖，相当于删除，注意为 "cnt--" 
	int now=1,son;	//覆盖的是堆头，从堆头开始遍历 
	while(now*2<=cnt){	//保证当前节点会有子节点
		son=now*2;	//定义左儿子 
		if(son<cnt && heap[son+1]<heap[son]) son++;	
		//找两个子节点中的最值，在 "heap[son+1]<heap[son]" 中，小根堆为 "<" ，大根堆为 ">" 
		if(heap[son]<heap[now]){	//小根堆为 "<" ，大根堆为 ">" 
			swap(heap[son],heap[now]);
			now=son;
		}
		else return;
	}
}

本题 \(Code\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int Maxn = 1e6+10;
inline void read(int &x){
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int n;
int op;
int x;
int heap[Maxn],cnt;
inline void push(int p){
	int fa,now;
	heap[++cnt]=p;
	now=cnt;
	while(now>1){
		fa=now>>1;
		if(heap[now]<heap[fa]){
			swap(heap[now],heap[fa]);
			now=fa;
		}
		else return;
	}
}
inline void deleted(){
	heap[1]=heap[cnt--];
	int now=1,son;
	while(now*2<=cnt){
		son=now*2;
		if(son<cnt && heap[son+1]<heap[son]) son++;
		if(heap[son]<heap[now]){
			swap(heap[son],heap[now]);
			now=son;
		}
		else return;
	}
}
inline void swap(int &a,int &b){int t=a;a=b;b=t;}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(op);
		if(op==1){
			read(x);
			push(x);
		}
		else if(op==2) printf("%d\n",heap[1]);
		else deleted();
	}
	return 0;
}