一本通1267：【例9.11】01背包问题 （浅谈01背包问题）

原题传送门

一道01背包的入门 & 模板题，以下主要提供两种思路

\(Solution\ 1\)

看到这道题，首先想到的就是用二维数组来\(DP\)

状态的表示：\(f[i][j]\)表示前\(i\)个总重量不超过\(j\)的最大价值

状态的转移：\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i])\ (w[i]<=j)\)
注：\(w[i]\)表示第\(i\)个物品的重量，\(c[i]\)表示第\(i\)个物品的价值，\(j\)表示当前的最大重量

最优解：\(f[n][m]\)
注：\(n\)指物体数量，\(m\)指最大重量

\(Code\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int m,n;
int f[201][201]={0};
int w[31],c[31];
int main(){
	read(m);read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(w[i]);
		read(c[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){      //当前物体编号
		for(int j=m;j>0;j--){      //当前最大重量
			if(w[i]<=j) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
			else f[i][j]=f[i-1][j];
		}
	}
	printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}

\(Solution\ 2\)

显然，二维数组的空间占用非常大。如果背包的最大空间再大一些，就会喜提\(MLE\)的好成绩

那就有一种新的方法：

状态的表示：\(f[j]\)表示不超过\(j\)重量的最大价值

状态的转移：\(f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])\)
注：\(i\)依然表示物品编号

最优解：\(f[m]\)
注：\(m\)表示最大重量

\(Code\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int m,n;
int f[201]={0};
int w[31],c[31];
int main(){
	read(m);read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(w[i]);
		read(c[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=w[i];j--){	//j>=w[i]保证一定能装下
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]); 
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

看到最后，可能会有一个问题：为什么需要倒序循环？
观察状态转移方程：\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i])\ (w[i]<=j)\)
\(f[i][j]\)的值只与上一行的值\(f[i-1][]\)有关
更新的时候需要用到旧值，倒序防止循环被覆盖。