codeforces 258C Little Elephant and LCM 组合数学 枚举

题意：

input :

n 

a1,a2,...,an

1 <= n <= 10^5

1 <= ai <= 10^5

求b数组的方案数，b数组满足：

1. 1 <= bi <= ai

2. lcm(bi) = max(bi)

 

solution:

2说明了b数组的每一个元素都是max(bi)的约数

则：

1.sort a数组，ma  = a[n]

2.预处理2个数组，vector<int> dive[MAXN],int pos[MAXN]

dive[i]保存i的约数，并且按照小到大排序

sort(dive[i].begin(),dive[i].end())

pos[i]表示a数组中 >= i 的数的最小位置

 

3.枚举max(bi):1~ma,则：

ans = sigma( dive(i).size()^(n - pos[i]+1) - (dive[i].size()-1)^(n-pos[i]+1) *

　　　　sigma((j+1)^(pos[dive[i][j+1]])-pos[dive[i][j]]),0<=j<dive[i].size() ),1<=i<=ma

 

推这条公式其实就是枚举max为i，然后把b数组分成若干段，每一个段的可以选择的数就是dive[i]的部分约数，先把dive[i]排序后，可以知道每一个段可以选择的数的个数，就得到公式了。

 

                                            
  //File Name: cf258C.cpp
  //Author: long
  //Mail: 736726758@qq.com
  //Created Time: 2016年02月23日 星期二 18时30分26秒
                                   

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>

#define LL long long 
#define pb push_back

using namespace std;

const int MAXN = (int)1e5+5;
const int MOD = (int)1e9+7;

int a[MAXN];
vector<int> dive[MAXN];
int pos[MAXN];
int ma;

LL qp(LL x,LL y)
{
    LL res = 1LL;
    while(y){
        if(y & 1)
            res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

void get_dive(int x)
{
    for(int i=1;i<=x;i++){
        dive[i].clear();
        int e = (int)sqrt(i + 0.0);
        for(int j=1;j<=e;j++){
            if(i % j == 0){
                dive[i].pb(j);
                if((i / j) != j)
                    dive[i].pb(i / j);
            }
        }
        sort(dive[i].begin(),dive[i].end());
    }
}

int bs(int l,int r,int x)
{
    int mid;
    while(r - l > 1){
        mid = (l + r) >> 1;
        if(a[mid] < x)
            l = mid;
        else
            r = mid;
    }
    if(a[l] >= x)
        return l;
    return r;
}

void solve(int n)
{
    sort(a+1,a+n+1);
    ma = a[n];
    get_dive(ma);
    pos[1] = 1;
    for(int i=2;i<=ma;i++){
        pos[i] = bs(pos[i-1],n,i);
    }
    LL ans = 0LL;
    LL tmp;
    for(int i=1;i<=ma;i++){
        int x = n - pos[i] + 1;
        int y = (int)dive[i].size();
        tmp = (qp(y,x) - qp(y-1,x) + MOD) % MOD;
        for(int j=0;j<dive[i].size() - 1;j++){
            tmp = tmp * qp(j+1,pos[dive[i][j+1]] - pos[dive[i][j]]) % MOD;
        }
        ans = (ans + tmp) % MOD;
    }
    printf("%d\n",(int)ans);
    return ;
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        solve(n);
    }
    return 0;
}