逆元学习

模p乘法逆元：

对于整数a,p，若存在整数b，满足ab mod p = 1 ,则说b是a模p的乘法逆元

a存在模p乘法逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1

证明略。

 

那什么时候我们需要用到逆元呢？

比如我们要求a/b%p,我们知道，乘法是可以直接取余，但是除法是不可以直接取余的。

这个时候我们要怎么转化呢？

如果b有模p的乘法逆元的话，

设乘法逆元为x，则bx % p = 1

则a/b%p=(a/b)*bx % p= ax % p

这样我们只要求出x，就可以求出ax%p，即a/b%p了

 

接下来是求x的时候了：

当p是素数的时候，

由费马小定理，有a^p≡a(mod p),即a^(p-1)≡1(mod p)，即a*a^(p-2)≡1(mod p)

而我们知道ax%p=1，所以有x=a^(p-2)

这个时候用快速幂加速得到x

 

当p不是素数的时候，

欧拉函数或者扩展gcd，

未完待续。。。