AT_abc179_e

题意

定义 \(f(x,m)= x \bmod m\)。

有一个序列 \(a\)，满足 \(a_1=1\)，\(a_i=f(a_{i-1}^2,m)\)。

求

\[\sum_{i=1}^na_i \]

思路

这道题 \(n\) 的数据范围很大，但 \(m\) 最多只有 \(10^5\)，因此考虑以此为突破口。

需要用到如下的同余性质：

\[(a \times b) \bmod m = (a \bmod m \times b \bmod m) \bmod m \]

证明过程不详解。

有了这条性质，我们可以得知，当某个余数第二次出现时，则意味着出现了“循环节”（因为其再继续运算下去的结果也与先前一样）。因此，我们可以暴力计算前面的 \(a_i\)，同时找出“循环节”，找到即可终止循环。

接下来，我们要将序列分割为三部分计算。

1. “循环节”前非循环节部分

2. 完整的一段一段的“循环节”

3. 尾部不完整的“循环节”

具体实现详见代码。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long

using namespace std;

int pd[1000001],sum[1000001];

int ans,x,n,m,len,w,s;

signed main()
{
	cin >> n >> x >> m;
	for( int i = 1 ; true ; i++,x = x * x % m)
	{
		if(pd[x]) 
		{
			len = i - pd[x];
			w = pd[x];
			break;
		}
		else pd[x] = i;
		sum[i] = sum[i-1] + x;
	}
	ans = min ( n , w - 1 );
	ans = sum[ans]; //非循环节部分
	if( w < n ) 
	{
		s = n - w + 1;
		ans += ( sum[w + len - 1] - sum[w - 1] ) * (s / len );//完整的一段一段的“循环节”
		ans += sum[w - 1 + s % len] - sum[w - 1];//尾部不完整的“循环节”
	}
	cout << ans;
	return 0;	
}