CF1712B

题意

构造一个 \(n\) 的排列 \(p\)，使得 $ \sum\limits_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,p_i)$ 最大。

分析

首先要知道，\(\operatorname{lcm}\) 是求两数的最小公倍数。因此，我们把思考方向引向公约数与公倍数。先回顾一下这条等式，对于任意的正整数 \(m\) 和 \(n\) 都有

\[\gcd(m,n) \times \operatorname{lcm}(m,n)=m \times n \]

移项得

\[\operatorname{lcm}(m,n)= \dfrac {m \times n}{\gcd(m,n)} \]

既然要使等式的左边尽可能大，那么右边的分母自然越小越好（最小为 \(1\)）。存在一种情况，使得 \(\gcd(m,n)=1\)，即我们常说的互质。回顾一下互质的定义：若 \(m\) 和 \(n\) 为两个相邻的正整数，则有 \(\gcd(m,n)=1\)。因此我们就要使题目中的 \(i\) 和 \(p_i\) 互质，使得分母变为 \(1\)（最小的数）。

那么这题做法就很显然了：设 \(i\) 为奇数，则 \(i+1\) 为偶数，令 \(p_i=i+1\)，\(p_{i+1}=i\)，则 \(\gcd(i,p_i)=1\)，\(\gcd(i+1,p_{i+1})=1\)，满足条件。特别地，当 \(n\) 为奇数时，我们直接令 \(p_1=1\)，其余情况从 \(2\) 开始，也满足条件，避免了剩下一个数的情况。

代码见下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int n;
		cin>>n;
		if(n&1)
		{
			cout<<1<<' ';
			for(int i=2;i<=n;i++)
				if(i&1^1)//等价于 i%2==0
					cout<<i+1<<' ';
				else
					cout<<i-1<<' ';
		}
		else
		{
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(i&1)
					cout<<i+1<<' ';
				else
					cout<<i-1<<' ';
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}