一元二次方程初步

基本定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为 \(2\) 的等式。

首先回顾一元一次方程，例如

\[x+2=6 \]

移项得

\[x=4 \]

那么，我们将 \(x\) 扩大到 \(x^2\)，变成如下式子

\[x^2+2=6 \]

移项得

\[x^2=4 \]

开方得

\[x= \pm 2 \]

是不是很简单？接下来看一条经典的方程

\[ax^2+bx+c=0 \]

乍一看，这条方程没有任何突破口。不妨先回顾平方和的式子。

\((a+b)^2\)

\(=(a+b)(a+b)\)

\(=a^2+ab+ab+b^2\)

\(=a^2+2ab+b^2\)

这是整式乘法，如果逆运算则为因式分解。

回到刚才那条方程，很容易想到要化成形如下面的式子

\[()^2=() \]

这样做才能开根。那么，现在我们要做的就是使原方程变换成上面的形式。

开始解方程

\[ax^2+bx+c=0 \]

提取 \(a\) 得

\[a \left( x^2+ \dfrac{b}{a} x \right)=-c \]

现在要对括号里的东西进行改变

\[a^2+2ab+b^2 \]

设 \(a\) 为 \(x\)，则

\[2xb= \dfrac{b}{a} x \]

\[b= \dfrac{b}{2a} \]

现在发现原方程里没有 \(b^2= \dfrac{b^2}{4a^2}\)，于是我们给两边都加上，得

\[a \left( x^2+ \dfrac{b}{a} x+\dfrac{b^2}{4a^2} \right)=-c+ \dfrac{b^2}{4a} \]

利用平方和公式，转化为

\[a \left( x+ \dfrac{b}{2a} \right)^2= \dfrac{b^2-4ac}{4a} \]

两边同时除以 \(a\)

\[\left( x+ \dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \]

开根

\[x + \dfrac{b}{2a}= \dfrac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

移项

\[x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

这就是一元二次方程的根（两组）。并且当 \(b^2-4ac<0\) 时，还要引入 \(i\)（\(i^2=-1\)，\(i\) 为虚数单位），有关方面较复杂，这里不详解。

总结：一元二次方程本质上只是比一元一次方程多一级，解法主要靠因式分解将原方程转化，因此若能够熟练掌握因式分解的技巧，便可以十分轻易地解决。