8.15 数论 线性同余方程组（crt 与 excrt

crt：

问题：

求解形如：

的方程组

构造思想求解：

构造解 X = x1 + x2 + x3 +......+xn

其中 xi 的构造为  bi * (逆元项）*（消参项）

消参项： 使得 除了xi的其他项xj mod ai == 0

逆元项： 为消参项在mod ai 意义下的逆元 ，使得 bi * (逆元项）*（消参项）mod ai = bi mod ai

则： $$X\equiv b_{i}\  (mod\  a_{i} ) \ , 1\leq i\leq  n $$ ,即满足要求.

不难想到消参项的构造 :

                     $$M_{i} =  \prod_{1}^{n}a / a_{i}$$

又 ，对于通解X，任何    $ X + n*\prod_{1}^{n}a  $ 都是可行解，

所以 ，令 $ t = \prod_{1}^{n}a / a_{i} $ , 则最小正整数解为 $(X\; mod \;t + t ) \;mod\; t$

 

伪代码：

1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
    n * n[i] → n
for i = 1 to k
    n / n[i] → m
    inv(m, n[i]) → b               // b * m mod n[i] = 1
    (ans + m * b) mod n → ans
return (ans mod t + t ) mod t

 

excrt：

即上述方程中ai不互质的情况 ，这样的话消参项的构造就不能保证ai本身不会被消了

但这种情况下，模数不互质的同余方程的解是有重叠的，可以用扩展欧几里得定理和线性同余方程的性质进行合并，详见:

https://oi-wiki.org/math/crt/

 excrt = 用exgcd 求 crt

一道例题： 

Strange Way to Express Integers

excrt的模板题

将同余方程组用exgcd合并成一个方程组求解

合并过程：

 

则：

$$x = t_{1}*b_{1} + a_{1} = t_{2}*b_{2} + a_{2} $$

有：

$$t_{1}*b_{1}  - t_{2}*b_{2} = a_{2}- a_{1}$$

此方程可解，解出最小正整数解$t_{1}$ 或 $t_{2}$代入原方程组就可得合并后的方程，

模数变成$lcm( b_{1} , b_{2})$,（因为同时能被$b_{1} , b_{2}$模得$x$）;

1.结果会很大，要用ll ，注意多组数据

2.puts( )出的结果自带空行

代码：

// excrt --- 用exgcd 求 crt
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500050;
ll ex_gcd( ll a ,ll b ,ll &x ,ll &y ){
      if( b==0 ){
         x = 1;
         y = 0;
        return a;
      }
      ll d = ex_gcd( b ,a%b , x ,y );
      ll tmp = x;
      x = y;
      y = tmp - a/b * y;
      return d;
}

bool equ( ll a ,ll b ,ll c ,ll &x ,ll &y ,ll &g){
     g = ex_gcd( a ,b ,x ,y );
     if( c%g ) return 0;
     ll k = c/g ,t = b/g;
     x *= k;
     y *= k;
     x = (x % t + t)%t;
     return 1;
}

ll n;
ll a[N] ,b[N];

int main( ){
     while( ~scanf("%lld" ,&n) ){
             int flag  = 0;
             for( int i =1 ;i<=n ;i++ ){
                 scanf("%lld%lld" ,b+i ,a+i);
             }
             ll ans = 0 ,x ,y ,g;

             for( int i = 1 ;i<n ;i++ ){
                 if( equ( b[i] ,b[i+1] ,a[i+1] - a[i] ,x ,y ,g) ){
                     a[i+1] = x*b[i] + a[i];
                     b[i+1] = b[i]/g*b[i+1];
                 }
                 else {
                     puts( "-1" );
                     flag = 1;
                     break;
                 }
             }
             if( flag )continue;
             printf( "%lld\n" ,a[n]%b[n] );
        }
     return 0;
}