8.4 树链剖分
详解：https://www.cnblogs.com/ivanovcraft/p/9019090.html
树链剖分的本质是序
以尽量走重链为序，使一棵树的结点尽量集中地分解成较少的链，而链作为连续的数据结构是易于维护的
剖分的过程有两遍dfs ：
dfs1：找出重结点 ，确立各个点的深度 ，这个过程可以确定：sz[i] ,dep[i] ,fa[i] ,son[i]
void dfs1( int u ,int f ){ sz[u] = 1; for( int i = head[u]; i ;i = edge[i].next ){ int v = edge[i].to; if( v == f )continue; dep[v] = dep[u] + 1; fa[v] = u; dfs1( v ,u ); sz[u] += sz[v]; if( sz[v] >sz[ son[u] ] )son[u] = v; } }
dfs2：将重结点链接成链（找出top[i]），并以这个链接的顺序作为将链存在数组中的顺序（dfn[i]），这个过程可以确定：dfn ，top ，rnk
void dfs2( int u ,int t ){ dfn[u] = ++tot; top[u] = t; rnk[tot] = u; if( son[u] )dfs2( son[u] ,t ); for( int i = head[u] ;i ;i = edge[i].next ){ int v = edge[i].to; if( v!= fa[u] && v!= son[u] )dfs2(v,v); } }
剖分后就可以利用线段树，树状数组等数据结构对分解后的链进行维护，给定两个节点x,y，进行它们之间的更新和查询操作，这个过程是：
1.如果x，y在一条重链上（ top[x]==top[y] ）,则可以直接利用数据结构对x到y这一段连续的链进行直接操作
2.如果x，y不在一条重链上（ top[x] != top[y] ），找出较深的结点（dep[fx]>dep[fy]）x，先将x到fx这一小段进行操作，再令x向其重链之上的父节点转移
重复这一过程，直到完成x到y之间完整路径的操作
这一过程也是寻找x，y LCA 的过程
int LCA( int x ,int y ){ int fx = top[x] ,fy = top[y]; while( fx != fy ){ if( dep[x] < dep[y] )swap(x ,y) ,swap( fx ,fy ); x= fa[fx] ,fx = top[x]; } return dep[x] < dep[y] ? x : y ; }
int c_query( int x ,int y ){ int fx = top[x] ,fy = top[y]; int ans = 0; while( fx != fy ){ if( dep[fx] < dep[fy] )swap(x ,y) ,swap(fx ,fy); ans += query( 1 ,dfn[fx] ,dfn[x] ); x = fa[x] ,fx = top[x]; } if( x==y )return ans; if( dfn[x] > dfn[y] )swap( x ,y ); if(dfn[x] != dfn[y])ans += query( 1 ,dfn[son[x]] ,dfn[y] ); return ans ; }
线段树： 网上关于树链剖分的代码线段树大多都是以结构体形式写的：
struct Tree{ int left ,right; int t ,lazy; }tree[N<<2];
难道这样更快？不懂（可能这个问题我永远也不会搞懂
模板题：HDU 3966 Aragorn's Story
区间修改，单点查询
这个我线段树没用结构体写也过了
#include<bits/stdc++.h> #define fi first #define se second #define rep( i ,x ,y ) for( int i= x; i<= y ;i++ ) #define reb( i ,y ,x ) for( int i= y; i>= x ;i-- ) #define mem( a ,x ) memset( a ,x ,sizeof(a)) #define lson pos<<1 ,l ,m #define rson pos<<1|1 ,m+1 ,r using namespace std; typedef long long ll; typedef long double ld; typedef pair<int ,int> pii; typedef pair<ll ,ll> pll; typedef pair<string ,int> psi; const int inf = 0x3f3f3f3f; const int N = 50005; const int M = 1000005; struct Edge{ int next ,to; }edge[N<<2]; int sz[N] ,top[N] ,son[N] ,dep[N]; int fa[N] ,dfn[N] ,rnk[N]; int m ,n ,q ,tot = 0 ,cnt = 0 ,k; int head[N] ; ll val[N<<2] ,tree[N<<4] ,lazy[N<<4]; //线段树部分 void build( int pos ,int l ,int r ){ if( l== r){ tree[pos] = val[ rnk[l] ]; return; } int m = (l+r)>>1; build ( rson ); build ( lson ); tree[pos] = tree[pos<<1]+tree[pos<<1|1]; return; } void push_down( int pos ){ int lc = pos<<1 ,rc = pos<<1|1 ; tree[lc] += lazy[pos]; tree[rc] += lazy[pos]; lazy[lc] += lazy[pos]; lazy[rc] += lazy[pos]; lazy[pos] = 0; return; } void updata( int pos ,int l, int r ,int L ,int R ,int k ){ //cout<<" updata "<<l<<" "<<r<<" "<<L<<" "<<R <<" "<<k<<endl; if( L<=l && r<=R ){ lazy[pos] += k; tree[pos] += k; return; } int m = ( l+r )>>1; if( L <= m )updata( lson ,L ,R ,k); if( R > m )updata( rson ,L ,R ,k); tree[pos] = tree[pos>>1] + tree[pos>>1|1]; return; } ll query( int pos ,int l ,int r ,int L ,int R ){ //cout<<" query "<<l<<" "<<r<<" " <<L <<" "<<R<<endl; if( L<=l && r <= R ) return tree[pos]; ll ans=0; push_down( pos ); int m =( l+r )>>1; if( L <=m )ans += query( lson ,L ,R ); if( R > m )ans += query( rson ,L ,R ); return ans; } //树链剖分部分 --dfs1 ,dfs2 ,query ,updata void dfs1( int u ,int rt ,int d ){ //cout<<" dfs1 "<<u<<" "<<rt<<" dep "<<d<<endl; dep[u] = d; fa[u] = rt; sz[u] = 1; for( int i = head[u]; i ;i = edge[i].next ){ int v =edge[i] .to; if( v == fa[u] )continue; dfs1( v ,u ,d+1 ); sz[u] += sz[v]; if( son[u] == 0 || sz[v] >sz[ son[u]]){ son[u] = v; } } return ; } void dfs2( int u ,int t ){ // u : now t :top //cout<<" dfs2 "<<u<<" "<<t<<" son "<<son[u]<<endl; top[u] = t; dfn[u] = ++cnt; rnk[cnt] = u; if( !son[u] ){ return ; } dfs2( son[u] ,t ); for( int i = head[u]; i ; i = edge[i].next ){ int v= edge[i].to; if( v == son[u] || v == fa[u] )continue; dfs2( v, v ); } } ll query_path( int x ,int y){ ll ans = 0; int fx = top[x] ,fy = top[y]; //cout<<" query_p "<<x <<" "<<y<<" "<<fx<<" "<<fy<<endl; while( fx != fy ){ if(dep[fx] >= dep[fy] ){ ans += query( 1 ,1 ,n ,dfn[fx] ,dfn[x] ); x = fa[fx] ; } else { ans += query( 1 ,1 ,n ,dfn[fy] ,dfn[y] ); y = fa[fy]; } fx = top[x] ,fy = top[y]; } if(x != y ){ if( dfn[x] < dfn[y] ){ ans += query(1 ,1 ,n,dfn[x] ,dfn[y] ); } else { ans += query(1 ,1 ,n,dfn[y] ,dfn[x] ); } } else ans += query( 1 ,1 ,n,dfn[x] ,dfn[y] ); return ans; } void updata_path( int x ,int y ,int z ){ //cout<<x<<y<<z<<endl; int fx = top[x] ,fy = top[y]; //cout<<" updata_p "<<x <<" "<<y<<" "<<fx<<" "<<fy<<endl; while( fx != fy ){ if( dep[fx] >= dep[fy] ){ updata( 1 ,1 ,n ,dfn[fx] ,dfn[x] ,z); x = fa[fx]; } else { updata( 1 ,1 ,n ,dfn[fy] ,dfn[y] ,z); y = fa[fy]; } fx = top[x] ,fy = top[y]; } if( x!=y ){ if( dfn[x] < dfn[y] )updata( 1 ,1 ,n ,dfn[x] ,dfn[y] ,z ); else updata( 1 ,1 ,n ,dfn[y] ,dfn[x] ,z ); } else updata( 1 ,1 , n, dfn[x] ,dfn[y] ,z); } int main( ){ while( ~ scanf("%d%d%d" ,&n ,&m ,&q) ){ cnt = tot = 0; mem( son ,0 ); mem( tree ,0); mem( lazy ,0); rep( i ,1 ,n )scanf("%lld" ,&val[i] ) ,head[i] = edge[i].next = 0; int l ,r; while( m-- ){ scanf("%d%d" ,&l ,&r ); edge[++tot].next = head[l]; edge[tot].to = r; head[l] = tot; edge[++tot].next = head[r]; edge[tot].to = l; head[r] = tot; } dfs1( 1 ,1 ,0 ); dfs2( 1 ,1 ); build(1, 1 ,n ); char op; while ( q--){ //cout<<q<<endl; cin>>op; if( op == 'I' ){ scanf("%d%d%d" ,&l ,&r ,&k); updata_path( l ,r ,k ); } if( op == 'Q' ){ scanf("%d" ,&l ); printf("%lld\n" ,query(1 ,1 ,n ,dfn[ l ] ,dfn[ l ] ) ); } if( op == 'D' ){ scanf("%d%d%d" ,&l ,&r ,&k); //cout<<l<<" "<<r<<" "<<k<<endl; updata_path( l ,r ,-k ); } } } return 0; }
