初等数论入门笔记

数论课本

常见记号:

$gcd(a,b)$ a与b的最大公约（因）数；
$lcm(a,b)$ a与b的最小公倍数；

常见性质：

$lcm(a,b)=a\ast b/gcd(a,b)$

同余的性质

求gcd

1. 欧几里得算法

点击查看代码

inline int gcd( int a , int b ) {
	return b == 0 ? a : gcd( b , a % b );
}

2. stein算法(不需除法，适合高精)

线性同余方程

部分证明出处

一元线性同余方程（扩展欧几里得算法;exgcd）

前置知识:

同余的性质、欧几里得算法

求解：

解任意同余方程 $ax\equiv c(modm)$，即求$ax-c\equiv 0(modm)$的解。

此时$m|(ax-c)$,也就是说此时存在$y\in Z$,$m·y=ax-c$；
※ 因此解同余方程$ax\equiv c(modm)$和解形如$ax+by=c$的不定方程（$a，b，c，x，y$ 为整数）等价。

$->$问题转化为解形如$ax+by=c$的不定方程（$a，b，c，x，y$ 为整数）（又叫做丢番图方程）

裴蜀定理：

• 表述：不定方程 $ax+by=c$（$a，b，c，x，y$ 为整数）有解，当且仅当 $cmodgcd(a,b)=0$

• 简易证明： $a$为$gcd(a,b)$的倍数, $b$也为$gcd(a,b)$的倍数
  ∴$ax+by$一定为$gcd(a,b)$的倍数（$x，y$为整数）
  又∵$ax+by=c$有解
  ∴ $c$为$gcd(a,b)$的倍数（必要性略）

• 推论：$a,b$互质的充分必要条件是存在整数$x,y$使$ax+by=1$ ( $\mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{此}\mathrm{时}gcd(a,b)=1$ )

扩展欧几里得算法（求解不定方程 $ax+by=c$（$a，b，c，x，y$ 为整数））

Q: 为什么叫“扩展欧几里得算法”呢？
A: 因为这个算法在求出$gcd(a,b)$的同时，可以求出一组整数$x,y$,使得不定方程 $ax+by=c$($c$为整数)成立。

由裴蜀定理可得：

若$aX+bY=c$有解，则$ax+by=gcd(a,b)$有解，
记$c=k·gcd(a,b)$，有:$X=kx,Y=ky$;

因而先考虑求解$ax+by=gcd(a,b)$；
又由裴蜀定理知，此时存在$x^{\prime },y^{\prime }$，$ax+by=gcd(a,b)\mathrm{且}b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }=gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$；

由欧几里得算法知$gcd(a,b)=gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$；
所以可联立上方两个式子：
$ax+by=b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }$；
整理，得:
$a(x-y^{\prime })+b(y-(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }))=0$；
要使上述式子恒成立，则$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }$；①

可以递归求解$x^{\prime },y^{\prime }$，因此求解规模相较原方程大幅减小。

递归边界和$gcd$求解是一致的，当$b=0\mathrm{时}，gcd(a,b)=gcd(a,0),\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{变}\mathrm{为}a·x_n=gcd(a,0)=a$,
解，得：当$b=0\mathrm{时}，x_n=1,y_n=0$，递归中回代（注意临时存储$x^{\prime }$）①即可求出原方程解。

点击查看代码

inline ll exgcd( ll a , ll b ) {
	if( b == 0 ) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;//递归边界同gcd一致，此时ax = gcd(a,0) = a , x = 1 		
	}
	else {
		exgcd( b , a % b );
		ll t = x;//储存x' 
		x = y;
		y = t - ( a / b ) * y;
	}
}

注意事项：大部分题目要求解出非负解，所以$exgcd$后要对$x$进行处理

推广应用（exgcd求乘法逆元）

逆元是什么，为什么要求逆元呢？
有些时候，在计数题中，我们要对有理数取模（取余）

例如计算$\frac{b}{a}modc$的值（$a,b,c$均为整数）时，

由分式的性质易得：

$$\frac{b}{a}modc=\frac{a^{-1}·b}{a^{-1}·a}modc=a^{-1}·bmodc$$

这也就是说，如果$a^{-1}$为整数，那么我们就可以把分数取余问题转化为整数取余。

$a^{-1}$怎样才能为整数呢？问题的关键是在模意义下考虑问题。

--未完待续

线性同余方程组

筛法

1. 埃氏筛

2. 线性筛求素数

3. 线性筛求欧拉函数（求积性函数）

常见数论定理

1. 费马小定理

2. 欧拉定理

3. 中国剩余定理