初等数论入门笔记

数论课本

常见记号:

\(gcd(a,b)\) a与b的最大公约（因）数；
\(lcm(a,b)\) a与b的最小公倍数；

常见性质：

\(lcm(a,b) = a * b / gcd(a,b)\)

同余的性质

求gcd

1. 欧几里得算法

点击查看代码

inline int gcd( int a , int b ) {
	return b == 0 ? a : gcd( b , a % b );
}

2. stein算法(不需除法，适合高精)

线性同余方程

部分证明出处

一元线性同余方程（扩展欧几里得算法;exgcd）

前置知识:

同余的性质、欧几里得算法

求解：

解任意同余方程 \(ax ≡ c \ (mod\ \ m)\)，即求\(ax - c ≡ 0 \ (\ mod\ \ m)\)的解。

此时\(m|(ax-c)\),也就是说此时存在\(y \in Z\),\(m·y = ax - c\)；
※ 因此解同余方程\(ax ≡ c \ (mod\ \ m)\)和解形如\(ax + by = c\)的不定方程（\(a，b，c，x，y\) 为整数）等价。

\(->\)问题转化为解形如\(ax + by = c\)的不定方程（\(a，b，c，x，y\) 为整数）（又叫做丢番图方程）

裴蜀定理：

• 表述：不定方程 \(ax + by = c\)（\(a，b，c，x，y\) 为整数）有解，当且仅当 \(c\ \ mod\ \ gcd(a,b) = 0\)

• 简易证明： \(a\)为\(gcd(a,b)\)的倍数, \(b\)也为\(gcd(a,b)\)的倍数
  ∴\(ax+by\)一定为\(gcd(a,b)\)的倍数（\(x，y\)为整数）
  又∵\(ax + by = c\)有解
  ∴ \(c\)为\(gcd(a,b)\)的倍数（必要性略）

• 推论：\(a,b\)互质的充分必要条件是存在整数\(x,y\)使\(ax+by=1\) ( \(因为此时gcd(a,b)=1\) )

扩展欧几里得算法（求解不定方程 \(ax + by = c\)（\(a，b，c，x，y\) 为整数））

Q: 为什么叫“扩展欧几里得算法”呢？
A: 因为这个算法在求出\(gcd(a,b)\)的同时，可以求出一组整数\(x,y\),使得不定方程 \(ax + by = c\)(\(c\)为整数)成立。

由裴蜀定理可得：

若\(aX + bY = c\)有解，则\(ax + by = gcd(a,b)\)有解，
记\(c = k·gcd(a,b)\)，有:\(X=kx,Y=ky\);

因而先考虑求解\(ax + by = gcd(a,b)\)；
又由裴蜀定理知，此时存在\(x',y'\)，\(ax+by=gcd(a,b) 且 bx'+ (a-b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y'=gcd(b, a-b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)\)；

由欧几里得算法知\(gcd(a,b)=gcd(b, a-b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)\)；
所以可联立上方两个式子：
\(ax+by=bx'+ (a-b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y'\)；
整理，得:
\(a(x-y')+b(y-(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'))=0\)；
要使上述式子恒成立，则\(x=y',y=x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'\)；①

可以递归求解\(x',y'\)，因此求解规模相较原方程大幅减小。

递归边界和\(gcd\)求解是一致的，当\(b = 0时，gcd(a,b)=gcd(a,0),方程变为a·x_n = gcd(a,0) = a\),
解，得：当\(b = 0时，x_n=1,y_n=0\)，递归中回代（注意临时存储\(x'\)）①即可求出原方程解。

点击查看代码

inline ll exgcd( ll a , ll b ) {
	if( b == 0 ) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;//递归边界同gcd一致，此时ax = gcd(a,0) = a , x = 1 		
	}
	else {
		exgcd( b , a % b );
		ll t = x;//储存x' 
		x = y;
		y = t - ( a / b ) * y;
	}
}

注意事项：大部分题目要求解出非负解，所以\(exgcd\)后要对\(x\)进行处理

推广应用（exgcd求乘法逆元）

逆元是什么，为什么要求逆元呢？
有些时候，在计数题中，我们要对有理数取模（取余）

例如计算\(\frac{b}{a} \ \ mod \ \ c\)的值（\(a,b,c\)均为整数）时，

由分式的性质易得：

\[\frac{b}{a} \ \ mod \ \ c = \frac{a^{-1}·b}{a^{-1}·a} \ \ mod \ \ c = a^{-1}·b \ \ mod \ \ c \]

这也就是说，如果\(a^{-1}\)为整数，那么我们就可以把分数取余问题转化为整数取余。

\(a^{-1}\)怎样才能为整数呢？问题的关键是在模意义下考虑问题。

--未完待续

线性同余方程组

筛法

1. 埃氏筛

2. 线性筛求素数

3. 线性筛求欧拉函数（求积性函数）

常见数论定理

1. 费马小定理

2. 欧拉定理

3. 中国剩余定理