P5020 货币系统

题目描述

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为a[1..n] 的货币系统记作(n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3n=3, a=[2,5,9]a=[2,5,9] 中，金额 1,31,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式

输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

输入样例1：

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 

输出样例1：

2   
5  

思路：

我们定义集合A表示(n,a)，集合B表示(m,b),根据题意我们可以猜测B∈A，严谨的证明详见洛谷题解。那么这道题就变成了我们需要寻找一个集合B，使得其中的每一个元素都不可以被集合A中的元素表示出来。

这里我们使用完全背包，考虑x可以被前i个数表示出来且其中包含a[i]，那么x-a[i]也可以被前i个数表示出来。如此我们用f[x]表示x是否能被表示出来，f[x]=f[x]|f[x-a[i]]。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

int t,n,a[108],ans;
int f[25008];

long long read()
{
    long long x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int main()
{
    t=read();
    while(t--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        n=read();
        ans=n;
        for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
        sort(a+1,a+n+1);
        f[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            if(f[a[i]])
            {
                ans--;
                continue;
            }
            for(int j=a[i];j<=a[n];++j)
            {
                f[j]=f[j]|f[j-a[i]];
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}