组合数学+错排问题【p4071】[SDOI2016]排列计数
Description
求有多少种长度为 n 的序列 A,满足以下条件:
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i,则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多,序列数对 10^9+7109+7 取模。
Input
第一行一个数 T,表示有 T 组数据。
接下来 T 行,每行两个整数 n、m。
Output
输出 T 行,每行一个数,表示求出的序列数
组合数+错排问题。
预处理\(fac[i]\)代表\(i\)的阶乘.\(inv[i]\)代表\(i\)的阶乘的逆元。
\(f[i]\)代表有\(i\)个数的错排方案数。
我们的答案就是\(C_n^{m} \times f[n-m]\)
不难理解的解释.
注意判断\(n==m\)输出\(1\)。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
#define mod 1000000007
#define R register
using namespace std;
const int gz=1000008;
int fac[gz]={1,1},inv[gz],T,f[gz];
inline void in(int &x)
{
int f=1;x=0;char s=getchar();
while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
inline int ksm(R int x,R int y)
{
R int res=1;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1)res=res*x%mod;
return res;
}
inline int C(R int n,R int m)
{
return (fac[n]%mod*inv[n-m])%mod*(inv[m])%mod;
}
signed main()
{
f[2]=1;
for(R int i=2;i<=gz;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[gz]=ksm(fac[gz],mod-2);
for(R int i=gz-1;i>=0;i--)inv[i]=((i+1)*inv[i+1])%mod;
for(R int i=3;i<=gz;i++)f[i]=(i-1)*(f[i-2]+f[i-1])%mod;
in(T);
for(R int n,m;T;T--)
{
in(n),in(m);
if(n==m)puts("1");
else printf("%lld\n",((C(n,m)%mod)*(f[n-m]%mod))%mod);
}
}
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