扩展欧拉定理【p4139】上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了\(10^9\)次元素,或\(10^{18}\)次,或者干脆\(\infty\)次

One word.

\(2^{2^{2^{....}}}mod\ p\)

Input

第一行一个整数\(T\)，表示数据个数。

接下来\(T\)行，每行一个正整数\(p\)，代表你需要取模的值

Output

\(T\)行，每行一个正整数，为答案对\(p\)取模后的值

直接套公式即可,证明的话目前在准备\(Noip\),将来证明.

\[a^x \equiv a^{x\ mod \ \phi(m) +\phi(m)}\ (mod \ m) \]

所以这里递归求解即可.

求\(\phi()\)的话.我没有用线性筛求,选择了

\[\phi(x)=x \times \prod_{i=1}^{r} (1-\frac{1}{p_1}) \]

这里的\(p\)为质数.

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define R register
#define int long long
using namespace std;
inline void in(int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}
inline int phi(int x)
{
	int res=x;
	for(R int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1)res=res/x*(x-1);
	return res;
}
int T;
inline int ksm(int x,int y,int p)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%p)
		if(y&1)res=res*x%p;
	return res;
}
inline int calc(int x)
{
	if(x==1)return 0;
	return ksm(2,calc(phi(x))+phi(x),x);
}
signed main()
{
	in(T);
	for(R int x;T;T--)
	{
		in(x);
		printf("%lld\n",calc(x));
	}
}