最长公共子序列问题
问题描述:
最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续),英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是,一个序列 S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
例如:X(A,B,C,B,D,A,B)
Y(B,D,C,A,B,A)
那么最长公共子序列就是:B,C,B,A
算法设计:用动态规划方法解决
最长公共子序列的结构:
设X = { x1 , ... , xm },Y = { y1 , ... , yn }及它们的最长子序列Z = { z1 , ... , zk }则:
1、若 xm = yn , 则 zk = xm = yn,且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列
2、若 xm != yn ,且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列
3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列
子问题的递归结构:
当 i = 0 , j = 0 时 , c[i][j] = 0
当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }
还是以:X(A,B,C,B,D,A,B)
Y(B,D,C,A,B,A) 为例
看下面的图:
由上面的分析:我们得到的源代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 //最长公共子序列代码模板 2 #include <iostream> 3 using namespace std; 4 #define N 105 5 6 int dp[N+1][N+1]; 7 char str1[N],str2[N]; 8 9 //比较两个数的大小 10 int maxx(int a,int b){ 11 if(a>b){ 12 return a; 13 } 14 return b; 15 } 16 17 18 //函数功能:获取两个字符串的最长公共子序列的数目 19 20 //len1:字符串1的长度 21 22 //len2:字符串2的长度 23 24 int LCSL(int len1,int len2){ 25 int i,j; 26 int len=maxx(len1,len2); 27 for(i=0;i<=len;i++){ 28 dp[i][0]=0;//y为空字符串 29 dp[0][i]=0;//x为空字符串 30 } 31 32 33 for(i=1;i<=len1;i++){ 34 for(j=1;j<=len2;j++){ 35 if(str1[i-1]==str2[j-1]){ 36 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 37 } 38 else{ 39 dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ; 40 } 41 } 42 } 43 return dp[len1][len2]; 44 } 45 46 int main(){ 47 while(cin>>str1>>str2){ 48 int len1=strlen(str1);//获取字符串1的长度 49 int len2=strlen(str2);//获取字符串2的长度 50 cout<<LCSL(len1,len2)<<endl; 51 } 52 return 0; 53 }