最短路算法总结
1.floyd算法 (n^3复杂度)
基本思想:开始设集合S的初始状态为空,然后依次将0,1,。。n-1定点加入,同时用d[i][j]保存从i到j,仅经过S中的定点的最短路径,在初始时刻,d[i][j] = A[i][j]中间不经过任何节点,然后依次向S中插入节点,并进行如下更新
d(k)[i][j] = min{ d(k-1)[i][j],d(k-1)[i][k]+d(k-1)[k][j]}
还可以使用一个二维数组path指示最短路径。
path[i][j]给出从定点i到j的最短路径上,定点i的前一个顶点
代码相当简单,最容易的实现方法:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
for (k = 0;k < n;k++)
for (i = 0;i < n;i++)
for (j = 0;j < n;j++)
{
if (d[i][k] + d[k][j] < d[i][j])
{
d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
path[i][j] = path[k][j];
}
}
然后可以通过递归得出路径的。。
2.dijstra算法
单源最短路问题,先加入源,维持一张表来保存此时到源中的最短距离,选取最小的加入,然后更新表,不断的加入直到目的地在源中。仅适用于正边权的时侯,因为这时我们可以保证任意加入的点已经找到了源到该点的距离。
3.bellman-ford算法
最优性原理
最优性原理介绍及简单证明见:http://blog.csdn.net/liguanxing/article/details/7401798
它是最优性原理的直接应用,算法基于以下事实:
如果最短路存在,则每个顶点最多经过一次,因此不超过n-1条边;
长度为k的路由长度为k-1的路加一条边得到;
由最优性原理,只需依次考虑长度为1,2,…,k-1的最短路。
适用条件&范围
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统(需要首先构造约束图,构造不等式时>=表示求最小值,作为最长路,<=表示求最大值,作为最短路。<=构图时,有负环说明无解;求不出最短路(为Inf)为任意解。>=构图时类似)。
算法描述
1)对每条边进行|V|-1次Relax操作;
2)如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
for i:=1 to |V|-1 do //进行|v|-1次松弛得最短距离
for 每条边(u,v)∈E do
Relax(u,v,w);
for每条边(u,v)∈E do //判断是否存在负权环
if dis[u]+w<dis[v]
Then Exit(False)
算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单,适用范围又广,虽然复杂度稍高,仍不失为一个很实用的算法。
改进和优化 如果循环n-1次以前已经发现不存在紧边则可以立即终止;
4.spfa算法
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。
算法流程
SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到:只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点,才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此,算法大致流程是用一个队列来进行维护,即用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时,源点s入队。当队列不为空时,取出队首顶点,对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功,且该邻接点不在队列中,则将其入队。经过有限次的松弛操作后,队列将为空,算法结束。SPFA算法的实现,需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组mark。为了方便查找某个顶点的邻接点,图采用临界表存储。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
Procedure SPFA;
Begin
initialize-single-source(G,s);
initialize-queue(Q);
enqueue(Q,s);
while not empty(Q) do begin
u:=dequeue(Q);
for each v∈adj[u] do begin
tmp:=d[v];
relax(u,v);
if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(Q,v);
end;
end;
End;
注意:spfa算法只有在不存在负权环的情况下可以正常的结束,如果存在负权环,那么将总有顶点在入队和出队往返,队列无法为空,这种情况下SPFA无法正常结束。可以通过添加一个变量表示每个顶点进入队列的次数,如果大于|v|那么就可以说明存在负权环