线段树学习笔记

定义

 

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

线段树至少支持下列操作：

Insert(t,x）：将包含在区间 int 的元素 x 插入到树t中；

Delete(t,x）：从线段树 t 中删除元素 x；

Search(t,x）：返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。

 

基本结构

 

线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。

下图就是两棵长度范围为[1,5][1,10]的线段树。

长度范围为[1,L] 的一棵线段树的深度为log (L) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L）。

线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。下面以插入为例，详细叙述，删除类似。

将一条线段[a,b] 插入到代表线段[l,r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid=（l+r）/2。如果b<mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的左儿子结点中，如果a>mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的右儿子结点中。

插入（删除）操作的时间复杂度为O（logn）。

 

luogu 线段树模板1 代码

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int n,m,f1,f2,f3,f4,cnt;
long long a[100001];
struct kkk{
    int a,b;
    long long num;
    int mid;
    long long mark;
}tree[400001];
long long ans[100001];
void make(int x,int y,int l)
{
    tree[l].mark=0;
    tree[l].a=x;
    tree[l].b=y;
    tree[l].mid=(y-x)/2+x;
    if(x==y)
    {
        tree[l].num=a[x];
        return ;    
    }
    else
    {
        make(x,tree[l].mid,l<<1);
        make(tree[l].mid+1,y,(l<<1)+1);
        tree[l].num=tree[l<<1].num+tree[(l<<1)+1].num;
        return ;
    }
}
void down(int l)
{
    if(tree[l].a==tree[l].b)
    {
        tree[l].num+=tree[l].mark;
        tree[l].mark=0;
        return ;
    }
    if(tree[l].mark!=0)
    {
        tree[l<<1].mark+=tree[l].mark;
        tree[(l<<1)+1].mark+=tree[l].mark;
        tree[l].num+=tree[l].mark*(tree[l].b-tree[l].a+1);
        tree[l].mark=0;    
    }
}
void update(int x,int y,int l,int k)
{
    if((x==tree[l].a)&&(y==tree[l].b))
    {
        tree[l].mark+=k;
        down(l);
        return ;
    }
    down(l);
    if(y<=tree[l].mid)
    {
        update(x,y,l<<1,k);
    }
    else
    if(x>=tree[l].mid+1)
    {
        update(x,y,(l<<1)+1,k);
    }
    else
    {
        update(x,tree[l].mid,l<<1,k);
        update(tree[l].mid+1,y,(l<<1)+1,k);     
    }
    tree[l].num=tree[l<<1].num+tree[(l<<1)+1].num+tree[l<<1].mark*(tree[l<<1].b-tree[l<<1].a+1)+tree[(l<<1)+1].mark*(tree[(l<<1)+1].b-tree[(l<<1)+1].a+1);
    return ;
}
long long query(int x,int y,int l)
{     
    down(l);
    if((tree[l].a==x)&&(tree[l].b==y))
    return tree[l].num;
    if(y<=tree[l].mid)
    {
        return query(x,y,l<<1);
    }
    if(x>=tree[l].mid+1)
        return query(x,y,(l<<1)+1);
    return query(x,tree[l].mid,l<<1)+query(tree[l].mid+1,y,(l<<1)+1);
}
using namespace std;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
    make(1,n,1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&f1);
        if(f1==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&f2,&f3,&f4);
            update(f2,f3,1,f4);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d",&f2,&f3);
            cnt++;
            ans[cnt]=query(f2,f3,1);
            //printf("%d\n",query(f2,f3,1));
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        printf("%lld\n",ans[i]);
    }
    //system("pause");
    return 0;
}