快速幂（1）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/221/B
来源：牛客网

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64bit IO Format: %lld

题目描述

令f(n)=2*f(n-1)+3*f(n-2)+n,f(1)=1，f[2]=2。
告诉你n，输出f(n)的结果，结果对1e9+7取模。

输入描述:

多组输入，每行一个整数n（1<=n<=1000)，如果输入为0，停止程序。

输出描述:

输出对应g(n)的值，结果对1e9+7取模。

示例1

输入

复制

1
5
9
456
0

输出

复制

1
95
7789
734891569

备注:

取模即求余运算，如7%4=3，12%5=2。


这里的数据较小，直接暴力解也可以
这里是用快速幂写

以下两个代码的区别在于矩阵的乘法，左乘和右乘，他们对应的系数矩阵不一样，被乘矩阵赋的初值也不一样

B=A*B(A是系数矩阵)

#include <iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod = 1000000007;
struct mat//定义矩阵结构体
{
  ll m[4][4];
  mat()
  {
    memset(m, 0, sizeof(m));
  }
};
mat mul(mat &A, mat &B)
{
  mat C;
  for (int i = 0; i < 4; i++)
  {
    for (int j = 0; j < 4; j++)
    {
      for (int k = 0; k < 4; k++) 
      {
        C.m[i][j] = (C.m[i][j] + A.m[i][k] * B.m[k][j]) % mod;
      }
    }
  }
  return C;
}
mat pow(mat A, ll n)
{
  mat B;
  for(int i=0;i<4;i++)//初始化方阵
    B.m[i][i]=0;

  //初始被乘矩阵的初值
  B.m[0][0]=2;
  B.m[1][0]=1;
  B.m[2][0]=2;
  B.m[3][0]=1;

  while (n)
  {
    if (n & 1)
      B = mul(A, B);//注意这里，矩阵的左乘和右乘是不一样的，对应的系数矩阵也不一样
    A = mul(A, A);
    n >>= 1;
  }
  return B;
}
int main()
{
  ll n;
  while (cin>>n&&n!=0)
  {
    mat A;//矩阵A是系数矩阵（转移矩阵）
    A.m[0][0]=2;
    A.m[0][1]=3;
    A.m[0][2]=1;
    A.m[0][3]=1;
    A.m[1][0]=1;
    A.m[2][2]=A.m[2][3]=A.m[3][3]=1;
    
    if(n==1)
    {
      printf("1\n");
    }
    else if(n==2)
    {
      printf("2\n");
    }
    else
    {
      mat B = pow(A, n-2);
      printf("%lld\n",B.m[0][0]);
     // printf("%lld\n", (2*B.m[0][0]+B.m[0][1]+2*B.m[0][2]+B.m[0][3])%mod);
    }
  }
  return 0;
}

 

 

 

#include <iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod = 1000000007;
struct mat//定义矩阵结构体
{
  ll m[4][4];
  mat()
  {
    memset(m, 0, sizeof(m));
  }
};
mat mul(mat &A, mat &B)
{
  mat C;
  for (int i = 0; i < 4; i++)
  {
    for (int j = 0; j < 4; j++)
    {
      for (int k = 0; k < 4; k++) 
      {
        C.m[i][j] = (C.m[i][j] + A.m[i][k] * B.m[k][j]) % mod;
      }
    }
  }
  return C;
}
mat pow(mat A, ll n)
{
  mat B;
  for(int i=0;i<4;i++)
    B.m[i][i]=1;
  while (n)
  {
    if (n & 1)
      B = mul(B, A);
    A = mul(A, A);
    n >>= 1;
  }
  return B;
}
int main()
{
  ll n;
  while (cin>>n&&n!=0)
  {
    mat A;//矩阵A是系数矩阵（转移矩阵）
    A.m[0][0]=2;
    A.m[0][1]=3;
    A.m[0][2]=1;
    A.m[0][3]=1;
    A.m[1][0]=1;
    A.m[2][2]=A.m[2][3]=A.m[3][3]=1;
    
    if(n==1)
    {
      printf("1\n");
    }
    else if(n==2)
    {
      printf("2\n");
    }
    else
    {
      mat B = pow(A, n-2);
      printf("%lld\n", (2*B.m[0][0]+N.m[0][1]+2*B.m[0][2]+B.m[0][3])%mod);
    }
  }
  return 0;
}

 

 

应用篇

 

 

主要通过把数放到矩阵的不同位置，然后把普通递推式变成"矩阵的等比数列"，最后快速幂求解递推式:

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路(会这题的也可以看一下套路)：

例一:http://poj.org/problem?id=3070

题目：斐波那契数列f(n),给一个n，求f(n)%10000,n<=1e9;

(这题是可以用fibo的循环节去做的，不过这里不讲，反正是水题)

矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:

 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:

,简写成T * A(n-1)=A(n)，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一

般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等

比数列，直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置)，根

据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，res[1][1]=f(n)就是我们要求的。

 

给一些简单的递推式

1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）

继续例题二：poj3233

 

Description

 

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

 

Input

 

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

 

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given

这题就是求一个矩阵的和式:S(k),直接对和式建立递推：

建立矩阵,注意此处S和A都是2*2的矩阵，E表示单位矩阵,O表示零矩阵(全是0,与其他矩阵相乘都为0),显然E,O都是2*2的

 

这里转移矩阵是4*4.OVER

 

一般这种题目都是要找递推式，这是难点.

例三：HDU2276

题意就是说n个灯排成环i号灯的左边是i-1号，1的左边是n号，给定初始灯的开闭状态(用1,0表示)，然后每一秒都操作都是对于每个灯i，如果它左边的灯

是开的就把i状态反转(0变1,1变0)，问m秒都最终状态是什么,m<=1e8,n<=100;

这题的递推式没有明说，但是每一秒操作一次其实就是一次递推，那么关键就是要找转移矩阵，而且比较是常数矩阵，这个才能用等比的性质

我们把n个灯的状态看出一个F(n),其实就是一个n*1的01矩阵,然后考虑从上一秒的状态F(n-1)如何转移到F(n)。既然每个状态都要转移，总共n个状态，

可以看出转移矩阵就是一个n*n的矩阵(每一个灯的状态都用一个1*n的矩阵来转移)

先考虑第一个灯：影响它新状态的只有它左右的灯和它自己的状态，仔细想一下，1*n的转移中只有这两位置有用，那么其他都是0，就这样

这里state2到staten-1都被0干掉了，只有第一个和1号左边的灯有效

（这里不具体讲了，只有0,1的状态，自己枚举一下state1和state2,矩阵相乘后都是能正确转移的）

其他灯的考虑都是一样的，最终：

OVER

 

例四：HDU 5015

题意就是一个矩阵a,第一行依次是0,233,2333,23333......，给出矩阵的递推式：a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]，输入的是第零列，求a[n][m]，n ≤ 10,m ≤ 109

解：n很小，m很大，m大概就是作为幂次，以每一列为一个矩阵A(n-1)并且向下一列A(n)转移，那么关键就是找转移矩阵了：

先看第一行的数233后面每次都添一个3,显然递推关系就是A(n-1)*10+3=A(n)，这里多一个3，必须把列数新增一个元素3，也就是一个（n+1）*1的矩阵

A(n).

然后其他的元素转移会出现一个问题，a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];这里a[i-1][j]依旧是新一列的元素，这是不能矩阵转移的，因为矩阵转移必须从旧的矩阵状态

A(n-1)变到新状态A(n)。

那么这里a[i-1][j]就用递归思想，沿用上一行的转移矩阵(上一行能转移出a[i-1][j]),再加上新增的转移：

 

OVER

当然矩阵还有很多奇葩的递推，比如这矩阵优化的dp题。