状压DP

转载自https://blog.csdn.net/u013377068/article/details/81054112

动态规划多阶段几个重要的特性：

最优子结构：最优子结构好理解，就是各子问题具有最优解，由局部的最优解就能求出整个问题的最优解。

无后效性：而无后效性就是当前的状态最多只会影响它的后一个状态，之后的状态不受影响，例如，当前状态h[i]，最多只会影响它的下一个状态h[i+1],之后的状态不受影响。

 

 

状压DP：

有时候为了达到最优子结构和无后效性的效果，我们必须要定义好状态。但是有时候状态维度特别多，但是每个状态的决策又很少，这样我们开多维数组很可能会浪费，

并且可能会爆空间。

这时候我们考虑用状态压缩来做，比如每个状态的决策只有两个，但是状态的维度很多。

有时候为了达到最优子结构和无后效性的效果，我们必须要定义好状态。但是有时候状态维度特别多，但是每个状态的

决策又很少，这样我们开多维数组很可能会浪费，并且可能会爆空间。这时候我们考虑用状态压缩来做，比如每个状态的决策只有两个，但是状态的维度很多。

 

 

下面我们用01背包来举例。（例子看不懂？戳这里https://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/51075506）

有n件物品和一个容量为v的背包。放入第i件物品的占的空间为Ci,得到的价值是Wi;求解每种放法的背包价值；

 

1.定义状态：因为要求每一种放法的背包价值，所以我们状态应该是这n件物品的放与不放的情况。

                     最容易想到的是开个n维数组，第i个维度的下标如果是1的话代表放第i件物品，0的话代表不放第i件物品；

                     但是这样很容易造成空间浪费，而且多维数组也不好开；

                     我们仔细观察就会发现，每件物品有放与不放两种选择；假设我们有5件物品的时候，用1和0代表放和不放

                     如果这5件物品都不放的话，那就是00000;

                     如果这5件物品都放的话，    那就是11111；

                    看到这，我们知道可以用二进制表示所有物品的放与不放的情况；如果这些二进制用十进制表示的话就只有

                    一个维度了。而且这一个维度能表示所有物品放与不放的情况；这个过程就叫做状态压缩；

                   总结：观察可以知道在上面的例子中00000 ~ 11111可以代表所有的情况，把每种情况都对应一个十进制数，这些个十进制数的范围就是[0,(1<<5-1)]，代表一共有1<<5种情况。   

  

  代码实现：把一个维度的物品状态（放或不放）转化成一个十进制数存储

#include<iostream>
#include <bitset>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,x=0;
    cin>>n;
     for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int k;
            scanf("%d",&k);
            x=(x<<1)+k;//把一个维度的值转化成一个十进制数。
    
            cout << bitset<32>(x) << endl;//以二进制形式输出这个十进制数
        }

}

 

 

2.描述不同状态如何转移:

                   放的状态只能从不放的状态转移过来，所以dp[10000]只能从dp[00000] + W[1] 转移过来；dp[11000]可以从

                   dp[01000] + W[1]或者dp[10000] + W[2]转移过来.........

3.按一个方向求出该问题的解

从上面可以看出：状压dp的特点一般是规模比较小，n一般小于15。而且一般只有两种决策

 

因为状压DP涉及到一些常用的位运算，下面介绍几种：（https://www.cnblogs.com/Tony-Double-Sky/p/9283254.html）

 

 

注：在涉及到位运算时，一定要注意位运算的优先级。最好都加上括号更保险

 

为了更好的理解状压dp，首先介绍位运算相关的知识。

1.’&’符号，x&y，会将两个十进制数在二进制下进行与运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。

2.’|’符号，x|y，会将两个十进制数在二进制下进行或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。

3.’^’符号，x^y，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。

4.’<<’符号，左移操作，x<<2，将x在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用0填充，x<<2相当于让x乘以4。相应的，’>>’是右移操作，x>>1相当于给x/2，去掉x二进制下的最有一位。

这四种运算在状压dp中有着广泛的应用，常见的应用如下：

1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。//第i位是指从右往左数的第i位

方法：if(((1<<(i−1))&x)>0)if(((1<<(i−1))&x)>0)

将1左移i-1位，相当于制造了一个只有第i位上是1，其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算，如果结果>0，说明x第i位上是1，反之则是0。

2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。

方法：x=x|(1<<(i−1))x=x|(1<<(i−1))

证明方法与1类似，此处不再重复证明。

3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。

方法：x=x&(x−1)

 

模板题：POJ 3254 https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/10877703.html

模板题：POJ 2411 https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/10864119.html