HDU 2879 数论

HeHe

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Problem Description

In the equation X^2≡X(mod N) where x∈[0,N-1], we define He[N] as the number of solutions.
And furthermore, define HeHe[N]=He[1]*……*He[N]
Now here is the problem, write a program, output HeHe[N] modulo M for a given pair N, M.

 

 

Input

First line: an integer t, representing t test cases.
Each test case contains two numbers N (1<=N<=10^7) and M (0<M<=10^9) separated by a space.

 

 

Output

For each test case, output one line, including one integer: HeHe[N] mod m.

 

 

Sample Input

1

2 3

 

Sample Output

2

题意：

定义He[N]He[N]在[0,N−1][0,N−1]范围内有多少个数满足式子x2≡x (mod N)x2≡x (mod N)

求HeHe[N]=He[1]×……×He[N]，He[n]是满足方程解的个数

 

由欧拉定理

这里φ(n)=2，即小于等于n的素数都满足φ(n)=2    （φ(n)是小于等于n且与n互质的数的个数）每一个素数对应两个满足方程的解

 

所有He[n]=满足方程解的个数=2^num（num是小于n的所有质数的个数）

因为题目让求HeHe函数

HeHe函数是He函数的阶乘

故根据我们上面证明的结论

我们要求He[1]，He[2],⋯He[N]He[1]，He[2],⋯He[N]

这就用到了阶乘分解因子的方法了，我们知道要求N！中某个因子p有多少个，是不断加N/p直到0位置，而我们需要的只是1-N这些数中有多少个含有p因子，所以加一次N/p即可，然后枚举素因子p即可

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=1e7+5;
const int N=7e5+5;
bool isprime[maxn];
ll prime[N],cnt;

void init()//求小于n的所有素数
{
    cnt = 0;
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j < maxn; j += i)
            {
                isprime[j] = false;
            }
        }
    }
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
  init();
  ll n,m,t;
  scanf("%lld",&t);
  while(t--)
  {
    ll num=0;
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    for(int i=0;prime[i]<=n&&i<cnt;i++)//i<cnt是为了防止数组越界，累加求1->n个数字中，所有素数的个数（包括重复）
    {
      num=num+n/prime[i];
    }
    printf("%lld\n",q_pow(2,num,m));

  }
  return 0;
}