Codeforces Round 1006 (Div. 3) 部分题解

题面好长。

这场还在 testing，就不放代码了。

E - Multi-Target Attacks

题意

给定 $k\le {10}^5$ ，构造 $n\le 500$ 个点使得恰好有 $k$ 对点的欧式距离等于曼哈顿距离。

题解

一条线上的点满足这个条件，一条线上有 $m$ 个点就有 $\frac{m\times (m+1)}{2}$ 个选择，选择若干个 $m$ 凑够 $k$ ，铺成一个个横条就行（$x$ 不同 $y$ 相同）。

从大到小选，最大的 $k$ 大致需要 $n=460$ 左右，可以接受。

不知道最小 $n$ 怎么求（好奇）。

F. Goodbye, Banker Life

题意

$$T_{1,1}=k,T_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{T}_{i-1,j-1}\oplus T_{i-1,j},& \text{if }1<j<i\\ T_{i-1,j},& \text{if }j=1\\ T_{i-1,j-1},& \text{if }j=i\end{array}$$

给定 $k$，求出第 $n$ 行的所有元素值。

题解

改成记录被加次数，奇数为 $k$，偶数为 $0$，发现这就是杨辉三角，$(i,j)$ 上的被加次数是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j-1})$。

当 $n\mathrm{\&}m=m$ 时，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ 是奇数，直接判断即可。

G - Calculated the Sum

题意

设 $f(n,p)$ 为将 $n$ 的 $p$ 进制表示翻转后再转为 $10$ 进制后的数字，给定 $n,k$ ，求 $\sum _{i=2}^{k}f(n,i)$。

$n\le 3\times {10}^5$，多组测试对 $n$ 没有限制。

题解

若 $k>n$ 则 $f(n,k)=n$，现在考虑 $k\le n$ 的情况。

若 $k^2\le n$，那么暴力求解 $f(n,k)$，单次求解复杂度为 ${\log }_{k}n$。这样的 $k$ 最多 $\sqrt{n}$ 个。

多 $k^2>n$，那 $n$ 的 $k$ 进制表示最多为 $2$ 位，最低位是 $n\mathrm{mod}k=n-k\times \lfloor \frac{n}{k}\rfloor$，最高位是 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$，此时：

$$f(n,k)=k\times (n-k\times \lfloor \frac{n}{k}\rfloor )+\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$

化简得 ：

$$f(n,k)=kn-k^2\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$

$\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 整除分块，是零次方，一次方和二次方和，单组测试复杂度 $O(\sqrt{n})$ 。