atcoder ABC385 部分题解

G - Counting Buildings

简要题意

一个排列的 $L(P)$ 为 $\sum _{i=1}^n[premax(i)=P_i]$，即前缀最大值为自身的位置数，$R(P)$ 同理为后缀最大值。

有多少个排列使得 $L(P)-R(P)=k$

题解

假设 $n,k$ 是同阶的。

我们从 $n$ 到 $1$ 依次插入数，考虑朴素的 DP：设 $f_{i,k}$ 表示当前填了 $[n-i+1,n]$ 这些数，$L-R=k$ 的方案数。当插入一个数时，将其放在首位 $L$ 一定增加 $1$ ，放在末尾，$R$ 一定增加 $1$ ，其余位置，$L,R$ 不变，有转移：

$$f_{i,k}=f_{i-1,k-1}+f_{i-1,k+1}+(i-2)\cdot f_{i-1,k}$$

设 $F_i=\sum [x^k]f_{i,k}$，我们最终求 $[x^k]F_n$ 。

该状态转移可以写成多项式形式，即 $F_i=(x+(i-2)+\frac{1}{x})F_{i-1}$ ，那 $F_n=\prod _{i=2}^n(x+(i-2)+\frac{1}{x})=\prod _{i=0}^{n-2}(x+i+\frac{1}{x})$ 。

负系数不太好维护，改成 $[x^k]F_n=[x^k]\prod _{i=0}^{n-2}(x+i+\frac{1}{x})=[x^{k+n-1}]\prod _{i=0}^{n-2}(x^2+ix+1)$。

两个幂次为 $n$ 的多项式乘法可以在 $O(nlogn)$ 的复杂度下完成。运用启发式合并的思想，我们每次找到当前次数最小的两个多项式做乘法，每个多项式最多被计算 $O(logn)$ 次，总的复杂度为 $O(nlo{g}^{2}n)$ 。

当然，可以使用分治模拟启发式合并的过程，保证每一个搜索层下，现有多项式的次数都尽可能的平均，也就是模拟了启发式合并。

多项式乘法用 NTT 。

参考代码（分治做法）