博弈论

博弈问题：裴之大仙与老林的初见故事。具体情况见小说《天才基本法》。

问题如下：给定a个红棋子，b个蓝棋子，每次可以取走1或2枚红棋子或蓝棋子（要么红要么蓝，不可以取走一次取走两枚不同颜色的棋子），取走最后一枚或者两枚棋子的人是赢家。

分析：只看红棋子，这个游戏有着必胜策略，设x=a%3,r若x==0，则先手必输（在后手知道必胜策略的情况下），原因：不论先手取走一个还是两个，后手都可以凑齐三个，始终将状态保持在x==0,知道胜出；否则后手必输（若先手知道必胜策略），原因：先手可以通过取走一个或两个的方式始终维持x!=0的状态，直到胜出。

用SG值记录状态：SG(a）=a%3，若SG==0则必输（若玩家是先手）。

SJ定理：每个小状态SG的异或和（相同则0，不同则1）若为1则必胜，若为0则必败。原因：若为0，假设只有一个状态，输了。假设有两个状态，也就是两状态相同，还是输，输完这场输那场。若为1，假设只有一种颜色，赢。假设有两种颜色，也就是一必胜一必败，没事，先打比败局，等必败局打完再打必胜局即可，最终的胜利才是胜利。如果先打必胜局，打完必胜局以后你就是必败局的后手啦，那么此时必败局就会因为先后手的改变而成为必胜局。

总之必胜策略如下：SG（A,B）=SG(A%3)^SG(B%3),令SG==0，即令A,B之差是3的倍数。

总结：小球有两种颜色时，保持双方差值是3的倍数同时自己是后手。小球有一种颜色时，保持小球个数是3的倍数同时自己是后手。

再总结：保持异或和为0，且自己是后手。

类似博弈游戏举例：

游戏1：给一个数n，两个人轮流进行倒数，每次只能倒数1或2或3个连续的数，不能跳过某数也不能重复，倒数到0的一方失败。例如n=10的时候一个合理过程为：A:10.9.8。B:7.6。A:5。B:4.3。A:2.1.0。此时A失败（当然A的最后一步可以选择不说0，这样A就可以获得胜利了，这里例子只是为了说明游戏规则）。

解答1：定义n表示当前需要从n开始倒数，由SG值定义可知SG(n=0)=0，SG(n=1)=1，SG(n=2)=2，SG(n=3)=3，SG(n=4)=0，以及SG(n)=n%4。所以两个人从10000开始倒数的话，先手就输了。这个游戏是比较常见的游戏，而且很多人可能自己有计算方法，不过真实支撑它的策略的是这个博弈理论。

游戏2：给三个数a,b,c，两个人轮流进行操作，每次可以在abc中选一个非0数，将它减小（至少减少1，至多变为0），没有办法操作的一方失败(a=0,b=0,c=0)。

解答2：这是一个可以拆分的游戏，定义一个简单游戏为只有一个数的情况，设n表示当前这个数为n，那么SG(n)=n。这是因为显然每个状态都可以转移到n-1,n-2,....0。所以前面的0到n-1每个数都出现了一次，SG(n)也就变为n了。那么根据SJ定理，游戏必败当且仅当SG（a,b,c）=a异或b异或c=0。例如SG(a=45,b=45,c=0)=45异或45异或0=0，对于这个状态的简单解释可以是“无论对a进行什么样操作，对方总能对b进行同样的操作，反过来先操作b也是一样的道理”。那么SG(a=1,b=2,c=3)=0，即该状态必败，可以自行试一试。

(119条消息) [学习笔记] （博弈论）Nim游戏和SG函数_nim博弈_A_Comme_Amour的博客-CSDN博客

1.A状态必败

2.B可以到A，B必胜

3.C的所有next state都是B，C必败

4.与出手人无关