[深海少女与胖头鱼]

1|0深海少女与胖头鱼

1|1题目大意

有$n$个带盾的鱼和$m$个不带盾的鱼，求将他们全部打死的期望次数(其中打到带盾的鱼会让它的盾消失，但是又会让其他所有鱼带上护盾)

1|2做法

考虑两种情况：打到带盾的鱼和不带盾的鱼，我们令$f(n,m)$表示打死$n$个带盾的和$m$个不带盾的期望值

情况1：打到了带盾的，概率是$\frac{n}{n+m}$，那么攻击完这一下之后将会面对的情况就是$n+m-1$个带盾的和$1$个不带盾的

情况2:打到了不带盾的，概率是$\frac{m}{n+m}$，那么攻击完这一下之后将会面对的情况是$n$个带盾的和$m-1$个不带盾的

综上可以推出公式 $$f(n,m)=\frac{n}{n+m}×f(n+m-1,1)+\frac{m}{n+m}×f(n,m-1)+1$$

根据上式可以发现，出现了$m-1$，所以只适用于$m≥1$的情况，于是我们考虑$m=0$时，由于只能打带盾的故：$f(n,0)=f(n-1,1)+1$，这个$f(n-1,1)$套入刚才的公式联立就可以得到

$$\left\{\begin{matrix} f(n-1,1)=\frac{n-1}{n}×f(n,1)+\frac{1}{n}×f(n,0)+1 ①\\ f(n,0)=f(n-1,1)+1 ② \end{matrix}\right.$$

将②代入①得到：$f(n,1)=f(n-1,1)+n+2$递推式的话可以相加

$f(n,1)=f(n-1,1)+n+2$
$f(n-1,1)=f(n-2,1)+(n-1)+2$
$f(n-2,1)=f(n-3,1)+(n-2)+2$
.
.
.
$f(1,1)=f(0,1)+1+2$

将上面的式子相加会得到$f(n,1)=f(0,1)+2n+\sum_{i=1}^{n}i$其中$f(0,1)=1$

整理得$f(n,1)=\frac{n^2+5n+2}{2}$定义一个函数$calc(x)=\frac{x^2+5x+2}{2}$

综上就推出了对$m$所有的情况，

$$f(n,m)=\left\{\begin{matrix} f(n,0)=f(n-1,1)+1=calc(n-1)+1 \qquad (m=0)\\ f(n,1)=calc(n) \qquad (m=1) \\ f(n,m)=\frac{n}{n+m}×calc(n+m-1)+\frac{m}{n+m}×f(n,m-1)+1 \end{matrix}\right.$$

1|3说明

因为程序中设计到分数，比如$\frac{n}{n+m}$它等效于$n×(n+m)^{-1}$其实我们要求$(n+m)$在模$p$意义下的逆元，由于题目中给的998244353是质数，则有$a^{p-1}≡1~(mod~p)$，所以$a$在模$p$下的逆元是$a^{p-2}~mod~p$

洛谷P6858

#include <cstdio>
#include <iostream>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int mod = 998244353;
LL n,m;

LL inv(LL a)
{
	LL res = 1;
	a %= mod;
	LL b = mod - 2;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
			res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
 	}
 	return res;
}

LL quickmul(LL a,LL b)
{
	LL res = 0;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
			res += a, res %= mod;
		a = (a + a) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

LL calc(LL x)
{
	x %= mod;
	LL res = x * (x+5) + 2;
	res >>= 1;
	return res % mod;
}

LL f(LL n,LL m)
{
	if(!m) return calc(n-1)+1;
	else if(m == 1) return calc(n);
	else {
		LL Inv = inv(n+m);
		return 1 + (quickmul(n,Inv)*calc(n+m-1)%mod) + (quickmul(m,Inv)*f(n,m-1)%mod);
	}
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
//	printf("%lld",quickmul(n,m));
	printf("%lld",f(n,m) % mod);
	return 0;
}

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本文作者：风丨铃
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