点双 & 边双连通图计数的细节比较

前言

写了两个烂大街的东西，以及我研究时的一些阻碍和心路历程。

点双连通图计数

设 \(b_i\) 表示 \(i\) 个点的有标号 无根 点双连通图个数。\(d_i\) 为 \(i\) 个点的 有根 连通图个数，其 EGF 为 \(D(x) = \sum_i \frac{d_i}{i!}x^i\)。显然 \(D(x)\) 可以用 城市规划 的方法求出（\(\ln\)）。

重点思考如何在点双和连通图之间建立关系。尝试剖析有根连通图的结构：一个根，周围可能存在着一些点双连通分量，然后这些点双连通分量中的点又连着一些连通图。然而这只是很笼统的概述，我们把它细化。

首先我们称一个 有根 点双以及下面连着的一些连通图为“一个部分”。那么把若干个部分的根 叠合 在一起就是一个有根连通图。对于每个部分，考虑除根之外的所有在包含根的点双上的点，从这一个点双到“一个部分”，可以视作是将这些点 替换成一个有根连通图。

然后思考点双部分怎么做。首先我们需要将根隔离开来。根据这个，写出一个部分的式子：

\[\sum_{i\ge 1} \frac{b_{i+1}}{i!}\cdot D^i(x) \]

解释：枚举点双的大小，包含根在内为 \(i+1\)，虽然实际上只有 \(i\) 个点可以换成有根连通图，但点双部分的连接方案是 \(b_{i+1}\)。\(D^i(x)\) 表示将 \(i\) 个点每个都替换成一个有根连通图，但直接乘幂众所周知是 有序 拼接，为了而显然这不应该有序，于是 \(/i!\) 消除其顺序。

然后设一个机智的 EGF：\(B(x)=\sum_{i}\frac{b_{i+1}}{i!} x^i\)，我们发现上式就是把 \(x\) 替换成了 \(D(x)\)，即 \(B(D(x))\)。

最后还要将这些部分组合，然后用一个根拼接，于是：

\[D(x) = x\exp B(D(x)) \]

然后套用扩展拉格朗日反演就可以 \(O(n\log n)\) 求出 \(B(x)\) 某一项的值了。

边双连通图计数

和点双用类似的思路，尝试剖析连通图的结构，建立其与特殊的边双连通图的关系。设 \(b_i\) 为 \(i\) 个点的 有根 边双连通图个数，\(d, D(x)\) 的定义同上。

那么对于一个有根连通图，感觉边双的性质，根下面会挂上 一个 边双，边双上每一个点（包含根）都会 挂 上 若干 条边，边的另一端是一个有根连通图。

根所在的边双中，每个点及其下面挂的一些连通图，我们写出它的式子：

\[x\exp D(x) \]

非常显然。那么这个图就是这些部分的组合：

\[\sum_{i\ge 1} b_i \frac{(x\exp D(x))^i}{i!} \]

设 \(B(x)=\sum_{i}\frac{b_i}{i!}x^i\)，即得：

\[D(x)=B(x\exp D(x)) \]

同样可以拉反 \(O(n\log n)\) 求出一项。

细节剖析与对比

由于点双和边双的性质存在差异，两者推出的式子不同，推导细节上也存在出入。

下面是我学习是遇到的困惑以及可能正确的解答。

无根 与 有根

为什么点双的 \(b\) 是无根的而边双是有根的？

首先明确一点，就是这个边双的有根才是自然的。而点双的推导中我们由于根非常特殊，将其从“部分”中去除，实际上就将根区分开来了，自然地形成了一个有根连通图，\(b_{i+1}\) 仅仅是一种点双的连接方案。换言之，这幅同样的连通图可能以很多中方法被考虑多次，但孤立开来的总是不同的点，相当于有根。

边双没有任何将根特殊考虑的体现，为了与有根的 \(D(x)\) 对应，定义就是有根的定义。

下挂 与 替换

这个可能是我结构没理清的结果（

下挂和替换其实是非常自然的，因为点双之间是通过点连接，边双之间是通过边连接，所以考虑一个点附带的点双时自己也在里面，所以要把包括自己在内的整体替换，然而边双中一个点附带的边双不包括自己，自然是在自己的基础上额外考虑一些东西就行。

——Mr_Spade

可以发现点双边双两者在处理 分量上的点到有根连通图 的方法是有差异的。

这和点双边双本身的性质有关，而两者的方法都不会破坏其结构性质，或者漏掉某种情况。

如果点双是下挂，那一个三角形连通图都算不到，而这显然合法，漏数。

如果边双是替换，那整个包含根的边双则可能扩大（比如替换了一个三角形，这个三角形也应该是边双的一部分），也就是说真实的边双并不是 \(i\) 而是更大，在计算更大的边双时就会将这个图算重。

后记

https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/nature-of-solutions.html