Link-Cut Trees 小记

忘光啦 /dk /dk
本来 rotate 都会打错的我现在终于会打啦 ~~于是 splay 打错了~~

基础要点

实链剖分

重链剖分是我们很熟悉的一个结构，它的优秀之处在于可以将树上问题更加方便地转化为序列问题（虽然也不全是）。然而注意到重剖只适用于静态树，如果将树结构动态化那么重剖就不太行了。
于是引入一个更加灵活的链剖结构：实链剖分。它不依据大小，也不按照深度，虚实边是人为规定的。
不过我们仍然需要一个数据结构来维护实链。为了适应实链剖分的灵活，我们选择 Splay 作为辅助树。

辅助树

由于下面辅助树可以表示出唯一的原树，所以我们一般只维护这些辅助树。
对于一条实链，显然实链上的点深度连续，因此每棵 Splay 的 中序遍历 的顶点序列深度是递增且连续的。
虚边在辅助树中 认父不认子。具体的，在每棵 Splay 的根结点，其父指针（fa）指向 当前所在链顶在原树上的父亲。

基础操作

\(\text{access}\)

access(x) 表示打通一条 \(x\) 到根的一条实链，实链以 \(x\) 为底，以根为顶。
至关重要的操作之一，基本上是所有操作的基础。
实现不复杂，一步步往上拉，具体分 4 步：splay（转到根）；换儿子（换实边）；pushup（换了儿子要及时更新）；跳 fa。

inline void access(int x) {
  for (int p = 0; x; x = fa[p = x])
    splay(x), ch[x][1] = p, pushup(x);
}

\(\text{makeRoot}\)

若需要求出一条路径的信息，那么需要两点位于同一条实链上。然而这两个点 可能并没有祖孙关系，导致无法在同一个 Splay 中。
makeRoot(x) 表示将 \(x\) 换为原树的根。
实现也很简单：首先 access(x)，这时发现这条实链和预期相比恰好是反的，于是 splay 上来后就打翻转 Tag 就行了：

inline void makeRoot(int x) {
  access(x), splay(x), setRev(x);
}

\(\text{split}\)

split(x,y) 表示隔离出一条以 \(x, y\) 为端点的实链。
实现依靠前两个操作：makeRoot(x), access(y), splay(y);。操作之后 \(y\) 就包含了链上的信息。

\(\text{link}\)

link(x, y) 表示加入一条 \(x, y\) 之间的边。
比较稳妥的写法：先 makeRoot(x), makeRoot(y)，接下来如果 fa[x] 是 0 那么 \(x, y\) 不连通，之间 fa[x] = y 即可。

\(\text{cut}\)

cut(x, y) 表示切断连接 \(x, y\) 的边。
比较稳妥的写法：先 split(x,y)，如果满足 ch[y][0] == x && !ch[x][1]（说明 \(x, y\) 联通且 \(x,y\) 路径上不包含其他点）则表明 \(x,y\) 由一条边直接相连，那么 将这条实边直接断掉 即可：fa[x] = ch[y][0] = 0, pushup(y);
如果维护了 Splay 上的子树大小也可以根据 split(x,y) 出来的 Splay 树大小判断，如果大小为 2 说明直接相连。

其他次要操作

要找一个点所在原树的根，需要先 access(x), splay(x)，根据深度递增的性质 易知原树的根必然就是以 \(x\) 为根的 Splay 的最左侧，找到后记得 splay 这个点保证复杂度。这个操作习惯称为 findRoot(x)。
判断两点连通性：可以 makeRoot(x) 之后用上面的方法判断 findRoot(y) 是否等于 \(x\) 即可。或者用 link 中的方法也行。不过对常数有要求时可以考虑并查集（如果可以）。
修改时需要 先 splay 上来，保证不会漏更新上面的点。

注意点

为了 保证复杂度，理论上每次在 Splay 中向下遍历的行为都要 splay 上来找到的点。一般而言，并不推荐在 access 之外的地方使用循环遍历 Splay 树结构的行为。当然有为了优化复杂度等目的使用高明方法的例外（动态加边重心），具体问题具体分析。
小心操作的副作用！如上述的 findRoot 需要为了保证复杂度但却 改动了 Splay 的结构，这是一个很危险的信号。比如 link 如果直接使用 findRoot 判连通性的话，此时 \(y\) 不能保证还是 Splay 的根，如果不干其他补救措施（加一个 splay(y) 之类的）坐以待毙的话，在需要维护虚子树的信息时就会 遗漏更新。

rotate、splay 的写法略与朴素 Splay 有别，这里直接贴：

#define ident(x) (x == ch[fa[x]][1])
#define isRoot(x) (x != ch[fa[x]][0] && x != ch[fa[x]][1])
inline void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y], k = ident(x);
  if (!isRoot(y)) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
  ch[y][k] = ch[x][k ^ 1], fa[ch[x][k ^ 1]] = y;
  ch[x][k ^ 1] = y, fa[fa[y] = x] = z;
  pushup(y), pushup(x);
}
void flush(int x) {
  if (!isRoot(x)) flush(fa[x]);
  pushdown(x);
}
inline void splay(int x) {
  flush(x);
  for (int y = fa[x]; y = fa[x], !isRoot(x); rotate(x))
    if (!isRoot(y)) rotate(ident(y) == ident(x) ? y : x);
}

如果题目有强烈法方向性要求（比如 LCA 特判、有根树等等），那么可以考虑 有根树写法的 LCT（上面是无根树写法）。具体的，没有换根 & 翻转标记；link 直接连虚边；cut 直接断重边。少去了很多花里胡哨的操作。但是注意，写法简洁、常数减小的同时也更需要斟酌其正确性。

常用技巧

边权转点权

如果不问点权而是边权，怎么维护？
很简单，把边拆成一个点和两条边然后照做就行。注意防止 点对应的结点影响信息，于是可以初始化为无用值或 pushup 特判等手段规避。
注意现在 LCT 中点数为 \(n+m\)。
例题：SPOJ QTREE。

动态加边 MST

需要基于上面的技巧，维护边权最大值及其位置（假设求最小生成树）。
现在来了一条边 \((x,y)\) 权值为 \(w\)。先 split 提取出 \(x,y\) 的路径，然后求出路径上所有边的最大权值 \(w^\prime\)。如果 \(w<w^\prime\) 说明这条 新边加上会更优，于是果断将原来那个给 cut 了，link 上新边。最后得到的树就是答案。
例题：Luogu P4234 最小差值生成树。

动态加边维护桥

给边赋权：\(1\) 表示桥，\(0\) 表示不是桥。那么需要维护边权和。
如果一条边连接两个原本不连通的点，那么 link 上一条权值为 1 的边。
反之则会出现一个环，而环上 不应存在任何一个桥。那么不用 link 原本连接 \(x,y\) 的路径上的所有边都赋值为 0。
查询两点间桥的个数，直接就是路径求和。
当然也有 FlashHu 那样的显式缩点，常数小但容易写错。
例题：Luogu P2542 [AHOI2005] 航线规划。

维护子树信息

遗憾的是 LCT 对于子树就是短板了……但补救手段也不是没有。

常见的处理方法额外维护 虚子树 信息，然后在原来的写法上略加改动：

inline void pushup(int x) {
  siz[x] = siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]] + isiz[x] + 1;//此时的 siz 包含的虚子树的大小
}
inline void access(int x) {
  for (int p = 0; x; x = fa[p = x]) {
    splay(x);
    isiz[x] += siz[ch[x][1]];
    isiz[x] -= siz[ch[x][1] = p]; // 及时切换贡献
    pushup(x);
  }
}

注意到上面写法维护的信息需要满足可减性。如果不满足（比如子树最值）那么可以使用些数据结构辅助维护。
例题：Luogu P4219 [BJOI2014] 大融合

动态加边维护重心

Solution 1

考虑启发式合并的思路：每次合并两棵的树，将小树拆成单点一个个连到大树上。由于一个点之后被合并 \(O(\log n)\) 次，所以复杂度为 \(O(n\log^2 n)\)。
那么怎么动态维护重心？考虑到一个性质：一棵树加一个点，重心 最大移动一个距离。于是每次加点判断一下暴力挪动即可。显然挪动次数不超过加点次数，复杂度是对的。

Solution 2

充分利用重心的性质：两棵树合并，新重心必然在 原来两个重心在新树上的路径上。
那么在 link 之后先将这个连接重心的路径 split 出来，然后做 平衡树上二分。
具体的，需要维护好 子树大小，然后维护两个字段：lsum 表示当前搜索区间外左侧的大小，同理定义 rsum。
对于当前点 \(x\)，如果说 lsum 加上左子树 siz 不超过一半，右边也是，那么当前点必然可以作为一个重心。
然而我们似乎遗漏了当前点的 isiz，这部分会不会很大导致错误？回顾上面的性质，由于 isiz 必然不在这条重链 上，于是不必考虑。

找到之后记得及时 splay 保证复杂度，总复杂度 \(O(n\log n)\)。

// uset : 维护连通块重心的并查集
inline void update(int u, int v) {
  split(u = find(u), v = find(v));
  int x(v), lsum(0), rsum(0), tot(siz[x]), ret(N);
  while (x) {
    pushdown(x);
    int lcur(lsum + siz[ch[x][0]]), rcur(rsum + siz[ch[x][1]]);
    if (lcur * 2 <= tot && rcur * 2 <= tot) {
      if (tot & 1) { ret = x; break; }
      else { ret = std::min(ret, x); }
    }
    if (lcur < rcur) lsum = lcur + isiz[x] + 1, x = ch[x][1];
    else rsum = rcur + isiz[x] + 1, x = ch[x][0];
  }
  splay(ret);
  uset[u] = uset[v] = uset[ret] = ret;
}

例题：Luogu P4299 首都。

动态 dp

大致思路和重链剖分相似，适用维护子树信息的技巧维护 \(f,g\) 两个矩阵即可。
但要注意（广义）矩阵乘法 没有交换律，注意 pushup 时的顺序。
access 时需要撤销原来虚子树的影响，直接根据矩阵的 实际意义 做即可。注意判空。
一般来说复杂度为 \(O(n\log n)\) 乘上矩乘的复杂度，略优于树剖。
例题：Luogu P5024 保卫王国

维护同色连通块

有些题目要求维护点的颜色（一般种类不会很多）及其相关信息（比如同色连通块大小）。
一个简单的想法是，对于每条边，只有在两端同色时被连上。然而被 菊花图 卡爆。
考虑对原树定一个根，只连父边，然后 开颜色种类个 LCT。对于每个 LCT 中的一个点，仅在其当前颜色的 LCT 中连父边。
然后查询时，要先砍掉当前连通块的根。因为上面只连父边导致会有一个 虚假的点（并不是这个颜色）出现在连通块中，而这个点可能 联立了其他连通块，于是不能仅仅将大小减一。实际上也不是真正要执行 cut 操作，注意到 access(x) 之后当前点已经在实链上了，于是我们先 findRoot(x) 找到这个根，然后这个根已经在 findRoot 中 splay 上来了，于是直接找这个根的右儿子就是所求。
例题：SPOJ QTREE6。

杂题选做

【HNOI2010】弹飞绵羊

有 \(n\) 个弹簧排成一排，每个弹簧有一个弹力系数 \(K_i\)，表示从 \(i\) 可以弹到 \(i+K_i\) 的位置。\(Q\) 次操作，每次修改一个 \(K_i\)，或询问从 \(i\) 开始弹几次被弹飞（弹到 \(>n\) 的位置）。

首先应该得认出这个森林的模型：对于每个点 \(i\)，父节点为 \(i+K_i\)，如果这个点之后被弹飞那么就是根。
发现这题有比较强的 方向性，考虑有根树 LCT。
修改就是换父亲，而查询就是这个点在原树中的深度——也就是 access 之后得到的 Splay 的 siz。
当然也可以用一个虚点 \(n+1\) 作为 超级根 联立森林，这样就可以套有根 LCT 模板了。复杂度都是 \(O(n\log n)\)。

【CodeChef GERALD07】Chef and Graph Queries

给定一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，有 \(Q\) 次询问，每次给定区间 \([l, r]\)，求只保留编号在 \([l,r]\) 内的边，形成的图的连通块个数。

一道神仙题（应该是 wtrl
首先考虑按编号将边一条条加入，无非分两种情况：这条边联通了两个不同的连通块，那么答案减一；否则这条边与其他边构成了环，那么对答案没有贡献。
那么如果知道了这个区间的边一个个加入，那些边构成了环就行。
着重思考成环边：虽然构成一个环，不过如果这个环上有些 出现较早的边因为区间性质不复存在，那么环上出现缺口，这条边仍然产生贡献。实际上一个环一旦存在一个缺口就会断开两个连通块，于是不妨只考虑 出现最早的那条边。每次转化为求一条链（当前边尚未加入）上 编号最小的边。
那么考虑预处理一个 \(\text{pre}_i\) 表示第 \(i\) 条边在前面的一条边 \(\text{pre}_i\) 不存在是它会有贡献。用 LCT 维护 最大生成树。
最后询问可以看做是求区间 \([l,r]\) 内满足 \(\text{pre}_i<l\) 的 \(i\) 的个数。二维数点，随便搞。\(O(n\log n)\)。

posted @ 2020-12-26 08:15 -Wallace- 阅读(580) 评论(3) 编辑收藏举报

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「有时困境不会对你的垂首乞怜心生恻隐，只会因你的迎难而上肃然起敬。」

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辅助树

基础操作

\(\text{access}\)

\(\text{makeRoot}\)

\(\text{split}\)

\(\text{link}\)

\(\text{cut}\)

其他次要操作

注意点

常用技巧

边权转点权

动态加边 MST

动态加边维护桥

维护子树信息

动态加边维护重心

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动态 dp

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