P4550 收集邮票

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一种可能更加自然的推导

求出ans后直接\(\frac{ans(ans+1)}{2}\)不对的原因在于，这个式子算的是期望的平方，而我们需要求的是平方的期望，二者不等价。所以我们考虑如何去算平方的期望

令\(x_i\)表示已经得到了i种邮票，得到全部n种邮票所需要的次数，注意这里的\(x_i\)是一个随机变量

于是我们有转移式：

\[\begin{align} & E(x_i)=\frac{i}{n}E(x_i+1)+\frac{n-i}{n}E(x_{i+1}+1) \\ & E(x_i^2)=\frac{i}{n}E((x_i+1)^2)+\frac{n-i}{n}E((x_{i+1}+1)^2) \end{align} \]

对二者分别整理即可得到期望的递推式，和平方的期望的递推式：

\[\begin{align} & E(x_i)=E(x_{i+1})+\frac{n}{n-i} \\ & E(x_i^2)=E(x_{i+1}^2)+2E(x_{i+1})+\frac{2i}{n-i}E(x_i)+\frac{n}{n-i} \end{align} \]

答案为\(E(\frac{x_0(x_0+1)}{2})=\frac{E(x_0^2)+E(x_0)}{2}\)

#include<bits/stdc++.h>
 
#define db double 
 
using namespace std;

const int N=1e4+10;

int n;
db ex[N],ex2[N];

int main()
{
//	freopen("1.in","r",stdin);
	
	scanf("%d",&n);
	
	for(int i=n-1;i>=0;--i)
	{
		ex[i]=ex[i+1]+(db)n/(n-i);
		ex2[i]=ex2[i+1]+2*ex[i+1]+(db)2*i/(n-i)*ex[i]+(db)n/(n-i);
	}
	printf("%.2lf\n",(ex2[0]+ex[0])/2);
	
	return 0;
}