从欧拉定理理解小凯的疑惑

小凯的疑惑：给定正整数\(a \perp b\)，对于\(x,y \ge 0\)，求出\(ax + by\)无法表示的最大正整数。

一个经典思路是从同余最短路的角度看待这个问题：建立一个编号0~b-1的图，对于\(0 \le i \le b-1\)，建边\(\{i,(i+a) \bmod b,a\}\)，初始时令\(dis_0=0\)，跑dijkstra。这样我们就可以对于模b剩余系下的每一个值，求出能够表达它的最小正整数，然后答案就是\(\max{dis_i}-b\)。

然而这样建出的图有一个重要性质，就是它恰好是一个长度为b的环，因此答案为\(a(b-1)-b=ab-a-b\)，也就得到我们想要的结论。那么现在的关键问题就在于如何证明它是一个环，也即证明\(\{0,a,2a,...,(b-1)a\}\)在模b意义下两两不同余。

简单反证一下即可，假设\(\exist 0 \le i < j \le b-1\)，使得\(ai \equiv aj \pmod b\)，即\(a(i-j) \equiv 0 \pmod b \implies b|a(i-j)\)。由于已知\(a \perp b\)，那么\(b|i-j \implies i-j \equiv 0 \pmod b \implies i \equiv j \pmod b\)，显然与已知不符，假设不成立，证毕。

类比一下欧拉定理的证明过程，我们取了与b互质的数组成的集合\(A=\{x_1,x_2,...,x_{\phi(b)}\}\)，给其中每一个元素乘上了a得到\(B=\{ax_1,ax_2,...,ax_{\phi(b)}\}\)，因为B中每个元素与b互质且两两不同余，于是有\(A=B\)。这里的过程其实是类似的。