群论笔记
虽然大概只是抄一遍 cmd 的 blog，但还是希望抄一遍。
写在前面：
虽然大概只是抄一遍 cmd 的 blog，但还是希望抄一遍。
1. 群的概念及性质
定义：
一个集合 \(G\) 和其上的二元运算 \(*\)，集合内元素关于此运算满足封闭性，结合律，存在单位元逆元，则称 \(G\) 在 \(*\) 运算下是一个群。
性质：
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定理 1.1：
群的单位元唯一。
根据性质可以直接反证。
-
定理 1.2：
具有消去律。
因为具有逆元和结合律，直接乘逆元后结合即证。
-
定理 1.3：
每个元素的逆唯一。
反证假定不唯一，列式，由定理 1.2 消去 \(a\) 元素即证逆是同一个。
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定理 1.4：
对于任意有限群，对于任意 \(a \in G\) 有一个 \(\operatorname{ord(a)}\)，类似原根的，有 \(a ^ {\operatorname{ord(a)}} = e\)，称为阶，且有 \(a ^ {-1} = a ^ {\operatorname{ord(a) - 1}}\)
证明是构造性的，考虑集合 \(\{a, a^2, a^3 \ldots a^{n + 1} \}\)，由运算封闭性，这些元素都在集合内，又因为鸽巢原理，必然有两个相等，设为 \(a ^ x = a ^ y, x \lt y\)，那么由于消去律，就有 \(a ^ {y - x} = e\)，那么 \(y - x\) 则为一个阶，至于第二个证明，只需要在定义两边同时乘上逆元即可。
2. 置换与置换群
置换：
定义：
通俗的讲就是排列，写做：
运算(乘法)：
就是双射套双射，如果第一个置换为 \(f\)，具体而言，对于 \(i\) 通过此置换变为 \(f(i)\)，第二个置换为 \(g\)，对于 \(i\) 通过此置换变为 \(g(i)\)，则 \((f \times g)(i) = g(f(i))\)。
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性质 1：
置换的乘积仍然是置换。
证明显然。
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性质 2：
这是满足结合律的。
也比较显然。
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性质 3：
单位元是 \(\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n \end{matrix}\right)\).
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性质 4：
\(\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_n \end{matrix}\right)\) 的逆为 \(\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ 1 & 2 & \ldots & n \end{matrix}\right)\)。
然而这个操作是不具有 交换律 的。
置换群：
你会发现，对 \(1 \ldots n\) 的 所有置换 可以构成一个群。
那么，研究置换群的意义在哪里？
在讲他的意义之前，我们需要先讲同构的定义。
群的同构：
其实就是代数系统的同构，如果两个代数系统 \(\left\langle S,\circ\right\rangle\) 和 \(\langle G, \star \rangle\) 同构，那么考虑对 \(S\) 到 \(G\) 构造一一映射 \(f\)，那么如果任意 \(f(a\, \circ\, b) = f(a) \star f(b)\)，则称两个代数系统同构，记作 \(\langle S, \circ \rangle \cong \langle G, \star \rangle\)。
那么，研究它的意义其实是因为，对于任意一个 \(n\) 阶有限群，都存在一个 \(n\) 阶置换群同构，这里之所以是存在，是因为可能有很多 \(n\) 阶置换群，阶是势，即元素个数。证明不太会。
关于它的一些定义和引理：
-
不动点
这是在置换意义下定义的，在置换 \(p\) 下，如果 \(k \stackrel{p}{\longrightarrow} k\)，则称 \(k\) 是 \(p\) 置换下的不动点。
并记 \(c(p)\) 为 \(p\) 下的不动点。
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k 不动置换类
对于 \(p \in G\)，若 \(k\) 是 \(p\) 的不动点，则称 \(p\) 属于 k 不动置换类。
记作 \(p \in Z_k\)，因为逆元一定存在，单位元显然是所有的不动置换类，封闭性也容易看出来。
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等价类
这是对于一个 \(G\) 定义的，\(E_k\) 定义为 \(k\) 通过 \(G\) 中置换能获得的元素集合。
定理 2.1：当 \(x, y\) 同属一个等价类时，\(|Z_x| = |Z_y|\).
根据等价类的定义，必然存在一个置换 \(t \in G\)，使得 \(x \stackrel{t}{\longrightarrow} y\)，那么考虑 \(y \stackrel{t ^ {-1}}{\longrightarrow} x \stackrel{p}{\longrightarrow} x \stackrel{t}{\longrightarrow} y\)，\(p\) 是 \(Z_x\) 中任意一个置换，那么考虑 \(p' = t ^ {-1} pt\)，那么由于是 \(y \to y\) 的置换，所以必然属于 \(Z_y\)，那么我们构建了一个 \(Z_x \to Z_y\) 的映射，同理可以反着构建，所以可以构建双射，那么集合大小相等。
轨道-稳定化子定理：
定理 2.2：\(|Z_k| \times |E_k| = |G|\).
证明：
设 \(m = |E_k|\)，\(E_k = \{a _ 1( = k), a _ 2, \ldots a_m\}\).
因为 \(E_k\) 为一个等价类，则对于任意 \(a_i\)，都 \(\exist p _ i \in G, s.t. \; k\stackrel{p _ i}{\longrightarrow} a_i\)，考虑置换集合 \(G _ i = Z_k p _ i\)，由于封闭性显然有 \(G_i \subseteq G\)，可以发现的是 \(i \neq j, G _ i \cap G_j = \varnothing\)，那么有 \(G_1 + G_2 + G_3 \ldots + G_m \subseteq G\)。
后面看不懂了，咕掉。
3. 群在 OI 中的应用
burnside/polya 定理
burnside 引理
定理 2.3：称 \(E_{1 \ldots n}\) 中本质不同的个数为等价类的个数，设为 \(l\)，则有：
\[l = \dfrac{1}{|G|} \sum _ {p \in G} c(p) \]
\[等价类个数=各个置换下不动点个数的平均数。 证明： $\rm OI$ 不需要证明，咕了。 \]
Polya 定理
定理 2.4：
设一个置换可以拆解为 \(k\) 个循环置换，且一共有 \(c\) 种颜色，那么这个置换对应的不动点有 \(c ^ k\) 个。
证明：
容易理解，且 \(\rm OI\) 不需要证明，咕咕。
例题：
