【题解】走路

I 题意简述

• 从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。恰好走 \(N\) 步且不经过已走的点共有多少种走法？

• 多组数据，每行输入一个数 \(N\)。对于每一组测试数据，每行输出一个数，答案对 \(12345\) 取模。

• 对于100%的数据，保证 \(1 \leq N \leq 1000\)。时间限制 \(1\text{s}\)，空间限制 \(256\text{MB}\)。

II 分析

设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 步之后所在的点有几种可能，\(a_i, b_i, c_i\) 分别表示第 \(i\) 步向上走、向左走，向右走的方案数。那么 \(f_i = a_i + b_i + c_i\).

容易发现，第 \(i - 1\) 步无论走到了哪里，接下来都可以向上走。所以有 \(a_i = f_{i - 1}\).

第 \(i\) 步如果要向左走，那么第 \(i - 1\) 步就只能是向左走或向上走，而不能是向右走，所以有 \(b_i = a_{i - 1} + b_{i - 1}\).

第 \(i\) 步如果要向右走，那么第 \(i - 1\) 步只可以向上或向右走，不能向左走，所以有 \(c_i = a_{i - 1} + c_{i - 1}\).

所以：\(\begin{aligned}f_i &\; = f_{i - 1} + a_{i - 1} + b_{i - 1} + a_{i - 1} + c_{i - 1} \\ &\; = f_{i - 1} + (a_{i - 1} + b_{i - 1} + c_{i - 1}) + a_{i - 1} \\ &\; = f_{i - 1} + f_{i - 1} + a_{i - 1} \\ &\; = 2f_{i - 1} + f_{i - 2}\end{aligned}\)

最后我们再定好范围，本题的递推式即为：\(f_i = 2f_{i - 1} + f_{i - 2} (i \geq 3)\). 按顺序计算即可。

III 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005, mod = 12345;
int n, f[N];
int main(){
    f[1] = 3, f[2] = 7;
    for(int i = 3; i <= 1000; i++)
        f[i] = (2 * f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
        printf("%d\n", f[n]);
    return 0;
}