【题解】走路

I 题意简述

• 从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。恰好走 $N$ 步且不经过已走的点共有多少种走法？

• 多组数据，每行输入一个数 $N$。对于每一组测试数据，每行输出一个数，答案对 $12345$ 取模。

• 对于100%的数据，保证 $1\le N\le 1000$。时间限制 $1\text{s}$，空间限制 $256\text{MB}$。

II 分析

设 $f_i$ 表示第 $i$ 步之后所在的点有几种可能，$a_i,b_i,c_i$ 分别表示第 $i$ 步向上走、向左走，向右走的方案数。那么 $f_i=a_i+b_i+c_i$.

容易发现，第 $i-1$ 步无论走到了哪里，接下来都可以向上走。所以有 $a_i=f_{i-1}$.

第 $i$ 步如果要向左走，那么第 $i-1$ 步就只能是向左走或向上走，而不能是向右走，所以有 $b_i=a_{i-1}+b_{i-1}$.

第 $i$ 步如果要向右走，那么第 $i-1$ 步只可以向上或向右走，不能向左走，所以有 $c_i=a_{i-1}+c_{i-1}$.

所以：$\begin{array}{rl}{f}_i& =f_{i-1}+a_{i-1}+b_{i-1}+a_{i-1}+c_{i-1}\\ & =f_{i-1}+(a_{i-1}+b_{i-1}+c_{i-1})+a_{i-1}\\ & =f_{i-1}+f_{i-1}+a_{i-1}\\ & =2f_{i-1}+f_{i-2}\end{array}$

最后我们再定好范围，本题的递推式即为：$f_i=2f_{i-1}+f_{i-2}(i\ge 3)$. 按顺序计算即可。

III 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005, mod = 12345;
int n, f[N];
int main(){
    f[1] = 3, f[2] = 7;
    for(int i = 3; i <= 1000; i++)
        f[i] = (2 * f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
        printf("%d\n", f[n]);
    return 0;
}