【题解】洛谷 P10765 「CROI · R2」在相思树下 I

I 原题

P10765 「CROI · R2」在相思树下 I

II 题意简述

共 $T$ 组测试数据。

对于每一组测试数据，有初始数列，共 $n$ 个元素，从 $1$ 至 $n$。给出 $k$ 次操作。操作一：将数列中下标为奇数的数全部删除；操作二：将数列中下标为偶数的数全部删除。完成操作之后，将剩余的数从下标 $1$ 开始依次重新编排下标。求问 $k$ 次操作之后剩下来的最后一个数是什么。

数据满足 $1\le T\le 10,1\le n\le {10}^{18}$，所有 $k$ 满足可以在操作 $k$ 次后使数列仅剩一个元素。

III 解析

思考最后两步可能的情况。容易发现，满足这种情况的话，第 $k-1$ 步完成后仅可能剩 $2$ 或 $3$ 个元素，其余情况都需要再进行多于 $1$ 步才能做到仅剩一个数。如果第 $k-1$ 步操作完成后剩余 $3$ 个元素，因为第 $k$ 步执行完将仅剩一个元素，这第 $k$ 次操作必为操作 $1$。此时剩下的元素就是第 $k-1$ 次操作完成后的数列的第二个元素。如果第 $k-1$ 步完成后剩 $2$ 个元素，那么最后剩下的有两种情况：是 $1$ 操作，剩下第 $k-1$ 次操作完成后的数列的第 $2$ 个元素；是 $2$ 操作，剩下第 $k-1$ 次操作完成后的数列的第一个元素。

综合一下，最后一步的操作如果是操作 $1$，答案应为第 $k-1$ 次操作完成后的数列的第二个元素，如果为操作 $2$，应为第 $k-1$ 次操作完成后的数列的第一个元素。

那么问题来了，如何知道这个关键的“第 $k-1$ 次操作完成后的数列的第一或第二个元素”？

观察这个数列的变化规律，我们能够发现，如果执行操作 $1$，则数列的第一项变成数列的第二项，公差变为原来的二倍；如果执行操作 $2$，则第一项不变，第二项变为第三项，公差变为原来的二倍。可以设变量 $a,b,d$ 维护数列的第一项、第二项、公差。维护三个数据的思路在代码注释中，不再赘述。在进行到最后一次操作时，根据操作类型判断答案即可。

注意：

• 必须给 $a,b,d$ 赋初始值 $1,2,1$。
• 需要用 long long 来存储 $n,k,a,b,d$。

IV 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll t; // 测试数据组数
inline void read(ll& x){ // 快读
    ll s = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { w = (ch == '-' ? -1 : w); ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    x = s * w;
}
inline void write(ll x){ // 快写
    if(x < 0) { x = -x; putchar('-'); }
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
inline void write(ll x, char ch) { write(x); putchar(ch); }
int main(){
    read(t);
    while(t--){
        ll n, k, a = 1, b = 2, d = 1; // n, k 表示初始数列长度，操作次数，a, b, d 分别维护数列的第一项、第二项、公差
        read(n), read(k);
        for(int i = 1; i <= k; i++){
            ll x; read(x);
            if(i == k)
                write((x == 1 ? b : a), '\n'); // 依据最后一步的操作种类来判断答案是数列第一项还是第二项
            if(x == 1){ // 若操作 1
                ll tmp = b;
                a = tmp; b = tmp + 2 * d; // 新数列第一项 a 变为原数列第二项 b, 新数列第二项变为原数列第四项
                // 数列第四项等于数列第二项加二倍公差
                d *= 2; // 更新数列公差
                // 如果先更新公差，b 加一倍的 d 即可
            }else if(x == 2){ // 若操作 2
                b += d; // 新数列第一项不变，新数列第二项等于原数列第三项
                // 原数列第三项等于原数列第二项加一倍公差
                d *= 2; // 更新公差
            }
        }
    }
    return 0;
}

V 记录

R165814303