【图论】割点（割顶）

前置定义

有无向图 $G=(V,E).$

• 无向图的 DFS 树：从某一点 $root$ 开始 DFS，访问邻点 $.$ 当搜索到点 $u$ 时，我们遍历每一条以 $u$ 为起点的边 $(u,v_i)$，且定义有向边 $u⟶v_i.$ 于是 DFS 的过程全部完成之后，所有被定义的有向边就会组成一颗以 $root$ 为根树，这棵树就是图 $G$ 的 DFS 树。
• DFS 序：DFS 过程中，每次搜索到的节点编号组成的序列是为 DFS 序。
• DFN(DFS number)：节点在 DFS 序中的位置，即这个节点是第几个被 DFS 查找到的。下称 节点 $v$ 的 DFN 为 ${dfn}_v$。
  
  上图展示了某图的一种 DFS 树以及这种 DFS 序下对应的节点的 DFN 值。

DFS 树的重要性质

定义 $T(x)$ 为节点 $x$ 的子树。包括 $x$。

• DFN 单调性：任意一个节点 $u$，满足它的子树中所有的点的 $dfn$ 值均大于等于它的 $dfn$ 值。即 $df{n}_v\ge df{n}_u[v\in T(u)]$.
• 祖先后代性：若 $u⟶v$ 为非树边，则必有 $u,v$ 有祖先和后代的关系。

割点判断

所谓割点，是指在删除这个节点之后，整个图的连通块数量有增加，也就是此次删除把某个连通块分割成了两个连通块。所以整个图原来有几个连通块并不重要，重要的是删点后能否分割当前的连通块。只需思考一个连通块内求割点的方法，就可以推广到有几个连通子图的复杂图中。

如果 $x$ 为割点，把当前连通块从 $x$ 处分为两部分，一部分是 $x$ 在 DFS 树上的子树 $T(x)$，一部分是在 DFS 树上除去 $T(x)$ 以外的部分 $T^{\prime }(x)$。那么断开以后，产生两个块各自联通，$T(x)$ 中的任意一点都没有办法不通过 $x$ 到达 $T^{\prime }(x)$ 中的点了。若想不经过 $x$，必然有一条边 $u⟶y$ 可以到达 $x$ 的祖先节点，绕过 $x$。又因为 $T^{\prime }(x)$ 自己内部联通，所以只要满足前面的条件就可以通过这条边到达 $T^{\prime }(x)$ 中的任意一点。

设 $lo{w}_u$ 为 $u$ 仅经过一条非树边能到达的节点中，DFN 值最小的。上面的结论可以进一步表达为：$lo{w}_u<df{n}_x$。

如果这个节点为根节点，那么就要判断它的子树数量。如果它有超过一个的子树（即儿子），那么如果删去它，他的子树之间都不会联通了。这个判断可以通过 DFS 时通过树边访问时记录。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, num, root, cv_cnt;
int dfn[N], low[N];
bool cv_chk[N];
vector<int> g[N];
inline int read(){
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { w = (ch == '-' ? -1 : 1); ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    return s * w;
}
inline void write(int x){
    if(x < 0) { x = -x, putchar('-'); }
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void cv(int x){
    int chc = 0;
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    for(int y : g[x]){
        if(!dfn[y]){
            cv(y);
            chc++, low[x] = min(low[x], low[y]);
            if(low[y] >= dfn[x]){
                if(x != root || chc > 1){
                    if(!cv_chk[x])
                        cv_cnt++;
                    cv_chk[x] = true;
                }                
            }        
        }else
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
}
int main(){
    n = read(), m = read();
    while(m--){
        int u = read(), v = read();
        g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!dfn[i])
            root = i, cv(i);
    write(cv_cnt); putchar('\n');
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(cv_chk[i])
            write(i), putchar(' ');
    return 0;
}